Guía 01: Carga eléctrica, fuerza eléctrica y campo eléctrico

Esta guía presenta ejercicios y problemas sobre cargas eléctricas puntuales. Aquí calcularás la fuerza eléctrica entre cargas y el campo eléctrico que generan.

En un campo eléctrico externo las cargas eléctricas sienten la acción de la fuerza eléctrica. En la imagen, las flechas grises indican la magnitud y dirección del campo eléctrico mientras que las flechas de color indican la fuerza eléctrica sobre las cargas .

Índice

1. Carga Eléctrica
2. Fuerza Eléctrica
3. Campo Eléctrico
4. Respuestas

Carga Eléctrica

1. Cuando Benjamin Franklin propuso la convención de signos de la carga eléctrica, frotó con seda una barra de vidrio y denominó carga positiva a la carga del vidrio. Explique durante el frotamiento
   1. La barra de vidrio ¿Perdió, ganó o conservó electrones?
   2. La seda ¿Perdió, ganó o conservó protones?
2. La carga eléctrica negativa fue definida por B. Franklin como la carga del caucho al ser frotada con piel. Si se acerca plástico frotado con piel a caucho cargado se observa que se repelen.
   1. Explique qué tipo de carga que adquiere el plástico al ser frotado con piel.
   2. Si acercamos vidrio, previamente frotado con seda, al plástico frotado con piel ¿Se atraen o se repelen?
3. Considere un cuerpo metálico $A$ cargado negativamente y un cuerpo metálico $B$ inicialmente neutro. Si ambos cuerpos son puestos en contacto entre si y luego se separan ¿Con qué carga queda cada cuerpo?

Fuerza Eléctrica

1. Dos cargas eléctricas puntuales se encuentran en reposo en el vacío. Determinar la magnitud de la fuerza que actúa entre ellas si:
   1. Las cargas son $q_1 = 1{,}0\times 10^{-6}\,\mbf{C}$ y $q_2 =2{,}5\times 10^{-6}\,\mbf{C}$ y están separadas $5{,}0\,\mbf{cm}$.
   2. Las cargas son $q_1 = -1{,}25\times 10^{-9}\,\mbf{C}$ y $q_2 =2{,}00\times 10^{-5}\,\mbf{C}$ y están separadas $10{,}0\,\mbf{cm}$.
2. En la sal binaria cloruro de sodio (sal común), el ión $\ce{Na}^+$ tiene una carga positiva de magnitud $1{,}602\times 10^{-19}\,\mbf{C}$. Por otro lado, el ión $\ce{Cl}^-$ posee la misma carga que el $\ce{Na}^+$, pero obviamente con signo contrario. La distancia entre los iones en condiciones normales es de $3{,}876\times 10^{-8}\,\mbf{cm}$. Calcule la fuerza de atracción.
3. En el modelo atómico de Bohr, los electrones siguen ciertas órbitas permitidas alrededor del núcleo para valores discretos de la energía y el momentum angular. En el caso del hidrógeno neutro $\ce{H}$, formado por un protón y un electrón, el radio de la órbita que describe el electrón en su estado de mínima energía y mínimo momentum angular, conocido como radio de Bohr, es $r_0=52{,}9\,\mbf{pm}$ (ver indicación 1).
   Si la carga del electrón es $-e=-1{,}602\times 10^{-19}\,\mbf{C}$, la del protón $e=1{,}602\times 10^{-19}\,\mbf{C}$, la masa del electrón es $m_{e^-}=9{,}109\times 10^{-31}\,\mbf{kg}$ y la del protón $m_{p^+}=1{,}673\times 10^{-27}\,\mbf{kg}$. Obtenga
   1. La magnitud de la fuerza de gravitación entre el protón y el electrón en el átomo de $\ce{H}$.
   2. La magnitud de la fuerza de electrostática entre el protón y el electrón en el átomo de $\ce{H}$.
   3. ¿Cuál de la dos fuerzas es más intensa? ¿Cuántas veces más intensa?
   Indicación 1: Un picómetro es la billónesima parte de un metro, es decir \begin{equation*} 1\,\mbf{pm}=1\times 10^{-12}\,\mbf m \end{equation*} (En español, un billón es un millón de millones. No confundir con el billón anglosajón igual a mil millones).
   
   Indicación 2: La Ley de Gravitación Universal, enunciada por Sir Isaac Newton, establece que dos partículas de masa $M$ y $m$ separadas una distancia $r$ se atraen con una fuerza cuya intensidad es dada por \begin{equation*} F_g=G\frac{Mm}{r^2} \end{equation*} donde $G$ es la constante de gravitación universal cuyo valor es $G=6{,}674\times 10^{-11}\,\mbf{\frac{Nm^2}{kg^2}}$.
4. En el origen de un sistema coordenado se encuentra fija una carga $q_1 =4{,}0\,\mb\mu\mbf{C}$. Una segunda carga $q_2=1{,}0\,\mb\mu\mbf{C}$ se encuentra fija en la posición $\vec r_2= 1{,}0\,\hat{\imath}\,\mathbf{m}$. Determine la posición sobre el eje $x$ en que se debe ubicar una tercera carga $q=2{,}0\,\mb\mu\mbf{C}$ de modo que quede en equilibrio bajo la acción simultánea de las otras dos cargas.
5. Tres cargas puntuales se encuentran fijas como se muestra en la figura.

   

   Las magnitudes de las cargas son $q_1=20\,\mbf{nC}$, $q_2=-50\,\mbf{nC}$ y $q_3=100\,\mbf{nC}$ y las magnitudes de sus posiciones son $r_1=50\,\mbf{cm}$, $r_2=30\,\mbf{cm}$ y $r_3=20\,\mbf{cm}$, respectivamente. Determine
   1. El vector posición de cada carga medido en $\mbf m$.
   2. La fuerza eléctrica ejercida sobre $q_1$ por las otras cargas.
   3. La fuerza eléctrica ejercida sobre $q_2$ por las otras cargas.
   4. La fuerza eléctrica ejercida sobre una carga $q=-40\,\mbf{nC}$ ubicada en $\vec r=(0{,}50\,\hat\imath+0{,}30\,\hat k)\,\mbf m$ por las otras tres cargas.

Campo Eléctrico

1. En las esquinas del cuadrado de la figura se encuentran cuatro cargas eléctricas fijas.

   

   Suponga que $q=11{,}8\,\mbf{nC}$ y $a=5{,}2\,\mbf{cm}$.
   1. Elija un sistema de referencia apropiado para las cargas.
   2. Determine las posiciones de las cargas en su sistema de referencia.
   3. Calcule el campo eléctrico en el centro del cuadrado.
2. En la figura, la distancia de separación entre las cargas es $d$.

   

   1. En un sistema de referencia apropiado, encuentre el punto (o los puntos) en donde el campo eléctrico es cero.
3. A partir de los siguientes campos eléctricos, determine dónde se ubican y qué signo tienen las cargas

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

4. Esboce el campo eléctrico producido por las siguientes configuraciones de carga eléctrica en un sistema de referencia apropiado
   1. Una carga positiva $+q$ en $\vec r_{+q}=2\,\hat\jmath$ y una carga negativa $-q$ en $\vec r_{-q}=-2\,\hat\jmath$.
   2. Cuatro cargas positivas $+q$ en $\vec r=0$, $\vec r=10\,\hat\jmath$, $\vec r=10\,\hat\imath+10\,\hat\jmath$ y $\vec r=10\,\hat\imath$.
   3. Dos cargas positivas $+Q$ en $\vec r=-5\,\hat\imath$, $\vec r=5\,\hat\imath$ y una carga negativa $-2Q$ en $\vec r=5\,\hat\jmath$.
5. Considere una carga positiva $+q$ en $\vec r_{+q}=a/2\,\hat\jmath$ y una carga negativa $-q$ en $\vec r_{-q}=-a/2\,\hat\jmath$, con $a$ una longitud medida en metros. Detemine el campo eléctrico en
   1. En un punto arbitrario del eje $x$.
   2. En un punto arbitrario del eje $y$.

Respuestas

Carga Eléctrica

1. 1. Perdió electrones.
   2. Conservó protones.
2. 1. La misma del caucho, negativa.
   2. Se atraen.
3. Ambos quedan negativos.

Fuerza Eléctrica

1. 1. $F_e=9{,}0\,\mbf N$.
   2. $F_e=22{,}5\,\mbf{mN}$.
2. $F_e=1{,}536\,\mbf{nN}$
3. 1. $F_g=3{,}56\times 10^{-47}\,\mbf N$.
   2. $F_e=8{,}32\times 10^{-8}\,\mbf N$.
   3. La fuerza eléctrica es 39 ordenes de magnitud más intensa que la fuerza gravitacional.
4. $\vec r_q=0{,}67\,\hat\imath\,\mbf m$.
5. 1. $\vec r_1=(-43\,\hat\imath+25\,\hat\jmath)\,\mbf{cm}$, $\vec r_2=(23\,\hat\imath-19\,\hat\jmath)\,\mbf{cm}$, $\vec r_3=-20\,\hat k\,\mbf{cm}$.
   2. $\vec F_1=(-38\,\hat\imath+21\,\hat\jmath+23\,\hat k)\,\mbf{\mu N}$.
   3. $\vec F_2=(-0{,}24\,\hat\imath+0{,}19\,\hat\jmath-0{,}19\,\hat k)\,\mbf{mN}$.
   4. $\vec F_q=(-3\,\hat\imath+40\,\hat\jmath-8\,\hat k)\,\mbf{\mu N}$.

Campo Eléctrico

1. 1. Eje $x$ hacia la derecha y eje $y$ hacia arriba con origen en $-q$
   2. $\vec r_{-q}=0$, $\vec r_{+2q}=a\,\hat\imath$, $\vec r_{-2q}=a\,\hat\imath+a\,\hat\jmath$, $\vec r_{+q}=a\,\hat\jmath$.
   3. $\vec E=111\,\hat\jmath\,\mbf{kN/C}$.
2. A una distancia $2d$ a la izquierda de $+4q$.
3. 1. Una carga positiva.
   2. Una carga negativa.
   3. Una carga positiva abajo y una carga negativa arriba, de la misma magnitud.
   4. Una carga positiva a la izquierda y una carga negativa al centro, de la misma magnitud. Un tercera carga positiva a la derecha, de mayor magnitud que las otras.

4. 1. 

   2. 

   3. 

5. 1. En el eje $x$ ($y=0$) \begin{equation*} \vec E(x)=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{aq}{\left(x^2+\frac{a^2}{4}\right)^{3/2}}\,\hat\jmath. \end{equation*}
   2. En el eje $y$ ($x=0$) \begin{equation*} \vec E(y)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{\left(y-\frac{a}{2}\right)^{2}}-\frac{1}{\left(y+\frac{a}{2}\right)^{2}}\right)\,\hat\jmath. \end{equation*}