Guía 01: Sistemas de unidades, propiedades de los fluidos y viscosidad

Esta es la primera guía de Mecánica de Fluidos. Aquí te presentamos algunos ejercicios de unidades de medidas del «Sistema Inglés» y del SI, algunos ejercicios sobre densidad y peso específico, y algunos problemas de viscosidad.

La miel es un fluido con alta viscosidad, de ahí su dificultad para fluir.
Creditos: Coralpceb bajo licencia CC BY-NC-SA 2.0.

Índice

1. Sistemas de unidades
2. Propiedades de los fluidos
3. Viscosidad
4. Constantes, datos y factores de conversión
5. Respuestas

Sistemas de unidades

1. Exprese las cantidades en las unidades que se indican.
   1. $14{,}34\,\mt{ft^2}$ en $\mt{in^2}$, $\mt{mi^2}$ y $\mt{m^2}$.
   2. $28{,}0\,\mt{oz}$ en $\mt{lb_m}$, $\mt{slug}$ y $\mt{g}$.
   3. $22{,}49\,\mt{lb_f}$ en $\mt{N}$ y $\mt{dyn}$.
   4. $1{,}000\,\mt{atm}$ en $\mt{Pa}$, $\mt{bar}$, $\mt{psi}$ y $\mt{psf}$.
   5. $1{,}29\,\mt{kg/m^3}$ en $\mt{lb_m/ft^3}$ y $\mt{slug/ft^3}$.
   6. $1\,475{,}2\,\mt{ft\cdot lb_f/s}$ en $\mt{W}$ y $\mt{erg/s}$.
2. Transforme las unidades de las siguientes magnitudes al USCS (pie-libra(fuerza)-segundo)
   1. Longitud de una pista atlética: $l=400\,\mt{m}$.
   2. Aceleración de gravedad: $g=9{,}81\,\mt{m/s^2}$.
   3. Masa de un quintal de harina: $m=46{,}0\,\mt{kg}$.
   4. Peso de un galón de aceite lubricante de motor: $w=31{,}5\,\mt{N}$.
   5. Rapidez máxima del guepardo (chita): $v=110\,\mt{km/h}$.
   6. Masa del diamante Cullinan : $m=621{,}35\,\mt{g}$.
   Indicación 1: United States customary system (USCS), Sistema tradicional (de unidades) de los Estados Unidos.
   Indicación 2: El quintal es una antigua unidad de masa española utilizada en Chile, Su uso legal se remonta desde los tiempos de la colonia hasta el año 1848. Sin embargo, su uso cotidiano se extendió por más de cien años hasta bien entrado el siglo XX. Un quintal correspondía a cien libras españolas.
   Indicación 3: El galón (US. gallon) es una unidad de capacidad del sistema USCS. Equivale a $231\,\mt{in^3}\approx 3{,}785\,\mt l$ (litros). En Chile y en muchos otros países del mundo era común que el aceite lubricante de motor se vendiera en envases de un galón.
   Indicación 4: El diamante Cullinan es el mayor diamante hallado en toda la historia del que se tenga registro. Su masa en bruto era de $3\,106{,}75\,\mt{ct}$ (quilates).
3. Considere el siguiente plano inclinado sin roce.

   

   Si el peso del bloque es de $4{,}00\,\mt{lb}$, el ángulo es $\alpha=30{,}0^\circ$ y $g=32{,}2\,\mt{ft/s^2}$, obtenga
   1. La masa del bloque en $\mt{slug}$.
   2. La fuerza normal que ejerce el plano sobre el bloque.
   3. La aceleración del bloque.
4. La pista de la figura no presenta fricción, excepto en el tramo comprendido entre los puntos $B$ y $C$, que tiene una longitud de $12{,}0\,\mt{ft}$ y un coeficiente de fricción cinética $\mu_c = 0{,}20$. Al final de la pista se encuentra un resorte de constante de fuerza $k = 120\,\mt{lb_f/ft}$.

   

   Si el bloque pesa $15\,\mt{lb}$ y se libera desde $A$, determine
   1. La energía cinética del bloque en $B$.
   2. El trabajo de la fuerza de roce entre $B$ y $C$.
   3. La máxima compresión del resorte.
5. Una barra uniforme de longitud $L=2{,}00\,\mt{ft}$ y masa $M=3{,}00\,\mt{lb}$ gira libremente alrededor de un \textit{pivote} (eje) sin fricción en un extremo de una pared. El extremo libre de la barra se mantiene sujeto mediante un cable como muestra la figura

   

   Obtenga
   1. El torque realizado por el peso de la barra considerando como eje el pivote en $P$.
   2. El torque que realiza la tensión del cable sobre la barra con respecto al pivote en $P$.
   3. La tensión en el cable.

Propiedades de los fluidos

1. Una fuerza expresada por $\vec{F}=\left(4{,}00\,\hat{\imath}+3{,}00\,\hat{\jmath}+9{,}00\,\hat{k}\right)\mt{lb}$, actúa sobre una superficie cuadrada de $5{,}00\,\mt{ft}\times 5{,}00\,\mt{ft}$ en el plano $xy$. Calcule
   1. La componente normal y la componente tangencial de la fuerza $\vec F$ respecto de la superficie.
   2. La presión sobre la superficie.
   3. El esfuerzo cortante.
2. La densidad del agua es $\rho_{\ce{H_2O}}=1{,}00\,\mt{g/cm^3}$. Obtenga
   1. El peso específico del agua en unidades del SI y USCS.
   2. La densidad del agua en $\mt{slug/ft^3}$.
3. La densidad del mercurio es $\rho_{\ce{Hg}}=849\,\mt{lb/ft^3}$ y la densidad del agua es $\rho_{\ce{H2O}}=62{,}4\,\mt{lb/ft^3}$. Determine
   1. La gravedad específica del mercurio en el SI y el USCS.
   2. La densidad del mercurio en unidades SI.
   Indicación: También se conoce la densidad relativa como gravedad específica.
4. La glicerina tiene densidad relativa $\mt{DR}=1{,}26$. Obtenga el volumen específico en pies cúbicos por libra, en pies cúbicos por slug y en metros cúbicos por kilogramo.
5. Dos fluidos se mezclan en forma inhomogénea quedando burbujas en suspensión. La mezcla con las burbujas ocupa un volumen total de $1{,}20\,\mt{l}$. Si las densidades y masas de cada fluido son $\rho_{1}=1{,}00\,\mt{g/cm^3}$, $m_1=600\,\mt{g}$, $\rho_2=0{,}800\,\mt{g/cm^3}$, $m_2=400\,\mt{g}$ y considerando despreciable la masa del aire en las burbujas, calcule
   1. El volumen total de las burbujas.
   2. La densidad total de la mezcla.

Viscosidad

1. En la tabla se muestran la tasa de deformación angular de tres sustancias $A$, $B$ y $C$, y el esfuerzo cortante aplicado a temperatura constante.
   

   $A$		$B$		$C$
   $\frac{\partial v}{\partial y}\ \mt{\frac{rad}{s}}$	$\tau\ \mt{\frac{lb}{ft^2}}$	$\frac{\partial v}{\partial y}\ \mt{\frac{rad}{s}}$	$\tau\ \mt{\frac{lb}{ft^2}}$	$\frac{\partial v}{\partial y}\ \mt{\frac{rad}{s}}$	$\tau\ \mt{\frac{lb}{ft^2}}$
   $0{,}0$	$2{,}0$	$0{,}0$	$0{,}0$	$0{,}0$	$0{,}0$
   $3{,}0$	$4{,}0$	$0{,}50$	$2{,}0$	$0{,}30$	$2{,}0$
   $4{,}0$	$6{,}0$	$1{,}1$	$4{,}0$	$0{,}60$	$4{,}0$
   $6{,}0$	$8{,}0$	$1{,}8$	$6{,}0$	$0{,}90$	$6{,}0$
   $5{,}0$	$6{,}0$			$1{,}20$	$8{,}0$
   $4{,}0$	$4{,}0$

   
   Clasifique las sustancias A,B y C en newtonianas o no newtonianas.
2. Un esfuerzo cortante de $4{,}00\,\mt{dyn/cm^2}$ causa una deformación angular de $1{,}00\,\mt{rad/s}$ a un fluido newtoniano. ¿Cuál es la viscosidad en centipoise?
3. En un punto de un flujo viscoso, el esfuerzo cortante es $35{,}0\,\mt{kPa}$ y el gradiente de velocidad es $6\,000\,\mt{m/(s\cdot m)}$. Si la densidad relativa del líquido es $0{,}930$, determine la viscosidad y la viscosidad cinemática en unidades CGS.
   Indicación 1: La tasa de deformación angular también se conoce como gradiente de velocidad.
   Indicación 2: La viscosidad cinemática se define como el cociente entre la viscosidad $\mu$ y la densidad $\rho$ del fluido. En el sistema CGS la unidad de medida de la viscosidad cinemática se llama stokes « $\mt{St}$».
4. Una placa se desliza sobre otra estática a $0{,}250\,\mt{m/s}$. La separación entre las placas es de $0{,}500\,\mt{mm}$ y está rellena con un fluido lubricante. Para mantener el movimiento de la placa móvil es necesaria la aplicación de una fuerza por unidad de superficie de $2{,}00\,\mt{N/m^2}$. Respecto del fluido, calcule
   1. La rapidez de deformación angular.
   2. La viscosidad.
5. Un bloque de $120\,\mt{lb}$ desliza hacia abajo sobre un plano inclinado lubricado que forma un ángulo de $30{,}0^{\circ}$ con la horizontal. La cara plana del bloque en contacto con el lubricante tiene área $A=2{,}40\,\mt{ft^2}$, y el lubricante tiene una viscosidad de $7{,}50\times 10^{-2}\,\mt{lb_f\cdot s/ft^2}$. Si la rapidez con que cae el bloque es $3{,}00\,\mt{ft/s}$, determine el espesor de la película lubricante.
6. Un cuerpo de $40{,}0\,\mt{kg}$ de masa, resbala sobre un plano inclinado en $20{,}0^{\circ}$ respecto de la horizontal. El cuerpo apoya una de sus caras planas de área $1\,800\,\mt{cm^2}$ sobre el plano lubricado con un fluido de viscosidad $200\, \mt{cP}$. Si la velocidad de caída del cuerpo es $1{,}50\,\mt{m/s}$, determine
   1. El espesor de la película lubricante.
   2. La potencia disipada en la caída.
7. Dos superficies planas de grandes dimensiones están separadas $32{,}0\,\mt{mm}$ y el espacio entre ellas está lleno con un líquido cuya viscosidad es $0{,}150\,\mt{P}$. Suponiendo que el gradiente de velocidades es lineal ¿Qué fuerza se requiere para arrastrar entre las superficies, una placa de espesor despreciable y $0{,}500\,\mt{m^2}$ de área a una velocidad constante de $20{,}0\,\mt{cm/s}$ si la placa dista $10{,}0\, \mt{mm}$ de una de las placas?
8. Un cilindro sólido de $20{,}0\,\mt{lb}$ de peso se desliza verticalmente hacia abajo dentro de un tubo lubricado. La holgura entre el cilindro y el tubo es $1{,}00\times 10^{-3}\,\mt{in}$. Se observa que el cilindro se desacelera a una tasa de $2{,}00\,\mt{ft/s^2}$ cuando la velocidad es $20{,}0\, \mt{ft/s}$. Si el diámetro del cilindro es $D=6{,}00\,\mt{in}$ y la longitud es $L=5{,}00\, \mt{in}$, determine
   1. La fuerza viscosa que ejerce el lubricante sobre el cilindro.
   2. El área de contacto entre el cilindro y el lubricante.
   3. La viscosidad del lubricante.

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Constantes, datos y factores de conversión

• Aceleración de gravedad estándar
  $g=9{,}81\,\mt{m/s^2}= 32{,}17\,\mt{ft/s^2}$.
• Densidad de masa del agua
  $\rho_{_{\ce{H2O}}}=1{,}00\times 10^3\ \mt{kg/m^3}=62{,}4\ \mt{lb_m/ft^3}$.
• Presión atmosférica estándar
  $p_\text{atm}\equiv 1\,\mt{atm}\equiv 101\,325\,\mt{Pa}$.
• $1\ \mt{ft}\equiv 30{,}48\ \mt{cm}\equiv 12\ \mt{in}$.
• $1\ \mt{mi}\equiv 5\,280\ \mt{ft}$.
• $1\ \mt{lb_m}\equiv16\,\mt{oz}= 453{,}6\ \mt g$.
• $1\ \mt{lb_f}\equiv 1\ \mt{lb_m}\times g=4{,}448\ \mt N$.
• $1\ \mt N\equiv 10^{5}\,\mt{dyn}$.
• $1\ \mt{slug}\equiv 1\,\mt{\frac{lb_f}{ft/s^2}}= 32{,}17\ \mt{lb_m}$.
• $1\ \mt{psf}\equiv 1\,\mt{\frac{lb_f}{ft^2}}=47{,}88\, \mt{Pa}$.
• $1\ \mt{psi}\equiv 1\,\mt{\frac{lb_f}{in^2}}\equiv 144\,\mt{psf}=6\,895\ \mt{Pa}$.
• $1\,\mt{bar}\equiv 10^6\,\mt{Ba}\equiv 10^5\,\mt{Pa}$.
• $1\,\mt{erg}\equiv 1\,\mt{dyn\cdot cm}$.

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Respuestas

Sistemas de unidades

1. 1. $2\,065\, \mt{in^2}=5{,}144\times 10^{-7}\, \mt{mi^2}=1{,}332\, \mt{m^2}$.
   2. $1{,}75\,\mt{lb_m}=5{,}44\times 10^{-2}\, \mt{slug}=794\,\mt{g}$.
   3. $100{,}0\, \mt{N}=1{,}000\times 10^7\,\mt{dyn}$.
   4. $1{,}013\,\times\, 10^{5}\, \mt{Pa}=1{,}013\, \mt{bar}=14{,}70\, \mt{psi}=2\,116\, \mt{psf}$.
   5. $8{,}05\,\times\, 10^{-2}\, \mt{lb_m/ft^3}=2{,}50\times 10^{-3}\,\mt{slug/ft^3}$.
   6. $2{,}000\,0\times 10^3\,\mt{W}=2{,}000\,0\times 10^{10}\,\mt{erg/s}$.
2. 1. $l=1{,}31\times 10^3\,\mt{ft}$.
   2. $g=32{,}2\,\mt{ft/s^2}$.
   3. $m=3{,}15\,\mt{lb_f\cdot s^2/m}=3{,}15\,\mt{slug}$.
   4. $w=7{,}08\,\mt{lb_f}$.
   5. $v=100\,\mt{ft/s}$.
   6. $m=4{,}254\times 10^{-2}\,\mt{lb_f\cdot s^2/ft}$, $m=4{,}254\times10^{-2}\,\mt{slug}$.
3. 1. $m=0{,}124\,\mt{slug}$.
   2. $N=3{,}46\,\mt{lb_f}$.
   3. $a=16{,}1\,\mt{ft/s^2}$.
4. 1. $K_{B}=2{,}7\times 10^2\,\mt{ft\cdot lb_f}$.
   2. $W_{\vec F_r}=-36\,\mt{ft\cdot lb_f}$.
   3. $\Delta l=2{,}0\,\mt{ft}$.
5. 1. $\tau_{\vec w}=3{,}00\,\mt{lb_f\cdot ft}$, entrando en la hoja.
   2. $\tau_{\vec T}=3{,}00\,\mt{lb_f\cdot ft}$, saliendo de la hoja.
   3. $T=3{,}55\,\mt{lb_f}$.

Propiedades de los fluidos

1. 1. $F_n=9{,}00\,\mt{lb_f}$ y $F_t=5{,}00\,\mt{lb_f}$.
   2. $p=0{,}360\,\mt{lb_f/ft^2}=0{,}360\,\mt{psf}$.
   3. $\tau=0{,}200\,\mt{lb_f/ft^2}=0{,}200\,\mt{psf}$.
2. 1. $\gamma_{_{\ce{H2O}}}=9{,}81\times 10^3\,\mt{N/m^3}=62{,}4\,\mt{lb_f/ft^2}$.
   2. $\rho_{_{\ce{H2O}}}=1{,}94\,\mt{slug/ft^3}$.
3. 1. $\mt{DR}_{\ce{Hg}}=13{,}6$.
   2. $\rho_{_{\ce{Hg}}}=13{,}6\times 10^3\,\mt{kg/m^3}$.
4. $v_\mt{g}=1{,}27\times 10^{-2}\,\mt{ft^3/lb_m}$, $v_\mt{g}=0{,}410\,\mt{ft^3/slug}=7{,}94\times 10^{-4}\,\mt{m^3/kg}$.
5. 1. $V_\mt{b}=0{,}10\,\mt{l}=1{,}0\times 10^2\,\mt{cm^3}=1{,}0\times 10^{-4}\,\mt{m^3}$.
   2. $\rho=833\,\mt{kg/m^3}$.

Viscosidad

1. Newtonianas: $C$. No newtonianas: $A$ y $B$.
2. $\mu=400\,\mt{cP}$.
3. $\mu=58{,}3\,\mt P$ y $\nu=62{,}7\,\mt{St}$.
4. 1. $\frac{du}{dy}=500\,\mt{rad/s}$.
   2. $\mu=4{,}00\times 10^{-3}\,\mt{Pa\cdot s}=4{,}00\,\mt{mPa\cdot s}$.
5. $e=9{,}00\times 10^{-3}\,\mt{ft}=0{,}108\,\mt{in}=2{,}74\,\mt{mm}$.
6. 1. $e=4{,}02\times 10^{-2}\,\mt{cm}=0{,}402\,\mt{mm}$.
   2. $P=201\,\mt{W}=2{,}01\times 10^9\,\mt{cm\cdot dyn}$.
7. $F=21{,}8\times 10^3\,\mt{dyn}=0{,}218\,\mt N$.
8. 1. $F_v=21{,}2\,\mt{lb_f}$.
   2. $A=94{,}2\,\mt{in^2}=0{,}654\,\mt{ft^2}$.
   3. $\mu=1{,}35\times 10^{-4}\,\mt{lb_f\cdot s/ft^2}$.