Guía 09: Ecuación de Bernoulli con bombas y turbinas

A continuación utilizarás la ecuación de Bernoulli generalizada para considerar bombas y turbinas. Deberás relacionar las alturas, rapideces, presiones de un fluido (líquido) en movimiento con las potencias suministradas y retiradas por las bombas y turbinas.

Las bombas y turbinas son dispositivos indispensables para la vida moderna. Por un lado, las bombas se utilizan para proporcionar energía a un fluido para que alcance mayor altura, mayor velocidad o aumente su presión. Por otro lado, las turbinas extraen energía del fluido para convertirla en energía mecánica que después puede ser transformada en otras formas como la electricidad. La imagen muestra el reemplazo de algunas de las turbinas Pelton de la Central de generación hidroléctrica Walchensee (Baviera, Alemania) que es capaz de producir $124\,\mt{MW}$ de potencia eléctrica.
Creditos: Voith Siemens Hydro Power bajo licencia CC BY-SA 3.0.

Índice

1. Bombas y turbinas
2. Constantes, datos y factores de conversión
3. Respuestas

Bombas y turbinas

1. La figura muestra una bomba horizontal que descarga agua a $20^{\circ}\mt{C}$ con $57\,\mt{m^3/h}$.

   

   Despreciando las pérdidas, determine
   1. El aumento de presión que introduce la bomba al agua.
   2. La potencia que proporciona la bomba al agua en $\mt{kW}$.
2. En la figura se muestra una central hidroeléctrica con una turbina. El agua que pasa por la turbina a cierta altura sobre el lecho del río a $20{,}0\,\mt{ft/s}$ mediante una tubería de $3{,}00\,\mt{ft}$ de diámetro.

   

   Obtenga
   1. El caudal de agua que pasa por la turbina.
   2. La pérdida de presión que genera la turbina.
   3. La pérdida de altura de agua que genera la turbina.
   4. La máxima potencia que podría generar la turbina.
3. Dentro de un tanque grande se encuentra agua con una presión manométrica de $35\,\mt{kPa}$ en su superficie libre. Ésta se bombea a través de una tubería, como se muestra, y sale a través de una boquilla para formar un chorro libre.

   

   Determine
   1. La velocidad con que sale el agua de la boquilla. Utilice considereciones cinemáticas sobre el chorro libre.
   2. La potencia que debe introducir la bomba al agua.
4. En la figura, se bombea agua desde el depósito inferior al superior, con un caudal de $1\,500\,\mt{\frac{gal}{min}}$.

   

   Despreciando las pérdidas por fricción, obtenga
   1. La ganancia de altura del agua debida a la bomba.
   2. La potencia que debe introducir la bomba al agua.
   3. La potencia que consume la bomba si su eficiencia es de un $75\,\%$.

   Indicación: El galón (US. gallon) es una unidad de capacidad del sistema USCS. $$\begin{equation*} 1\,\mt{gal}\equiv 231\,\mt{in^3}\approx 3{,}785\,\mt l. \end{equation*}$$

5. El sistema bomba-turbina de la figura recibe agua del depósito superior en el día para generar electricidad para una ciudad. Por la noche, bombea agua desde el depósito inferior al superior para restablecer la situación.

   

   Para un caudal de diseño de $15\,000\, \mt{gal/min}$ en una u otra dirección y despreciando la pérdida de carga por fricción, la eficiencia del sistema es de un $80\%$, estime
   1. La potencia que se extrae del agua cuando funciona como turbina.
   2. La potencia que genera la turbina.
   3. La potencia que entrega la bomba al agua durante la noche.
   4. La potencia consumida por la bomba.
6. La figura muestra una bomba.

   

   Determine
   1. La potencia que debe entregar la bomba para que el caudal sea de $480\,\mt{l/s}$.
   2. El caudal si la potencia que entrega la bomba es $3{,}75\,\mt{kW}$.

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Constantes, datos y factores de conversión

• Aceleración de gravedad estándar
  $g=9{,}81\,\mt{m/s^2}= 32{,}2\,\mt{ft/s^2}$.
• Densidad del agua
  $\rho_{_{\ce{H2O}}}^{4{,}0^{\circ}\mt C}=1{,}00\times 10^3\,\mt{kg/m^3}=62{,}4\,\mt{lb_m/ft^3}$.
• Densidad del mercurio $\ce{Hg}$
  $\rho_{_{\ce{Hg}}}=13{,}6\times 10^3\,\mt{kg/m^3}=848\,\mt{lb_m/ft^3}$.
• $1\,\mt{ft}\equiv 30{,}48\,\mt{cm}\equiv 12\,\mt{in}$.
• $1\,\mt{lb_m}= 453{,}6\,\mt g$.
• $1\,\mt{lb_f}\equiv 1\,\mt{lb_m}\times g=4{,}448\,\mt N$.
• $1\,\mt{slug}\equiv 1\,\mt{\frac{lb_f}{ft/s^2}}= 32{,}2\,\mt{lb_m}$.
• $1\,\mt{bar}\equiv 10^5\,\mt{Pa}=2\,088{,}5\,\mt{lb/ft^2}=14{,}504\,\mt{psi}$.
• $1\,\mt{psi}\equiv 144\,\mt{lb/ft^2}$.
• $1\,\mt{m^3}\equiv 1\,000\,\mt{l}\equiv 1{,}0\times10^6\,\mt{cm^3}$.
• $1\,\mt{gal}\,(\text{US})\equiv 231\,\mt{in^3}=3{,}785\,\mt l$.
• $1\,\mt{ft\cdot \frac{lb}{s}} = 1{,}356\,\mt{W}$.
• $1\,\mt{hp}\,(\text{mecánico})\equiv550\,\mt{ft\cdot \frac{lb}{s}}=745{,}7\,\mt{W}$

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Respuestas

1. 1. $p_\text{bomba}=527{,}7\,\mt{kPa}=0{,}53\,\mt{MPa}$.
   2. $\dot W_\text{bomba}=8{,}4\,\mt{kW}$.
2. 1. $\dot V=141\,\mt{\frac{ft^3}{s}}=63{,}5\times 10^3\, \mt{\frac{gal}{min}}$.
   2. $p_\text{turb}=37{,}1\times 10^3\,\mt{\frac{lb}{ft^2}}=257\,\mt{psi}$.
   3. $h_\text{turb}=594\,\mt{ft}$.
   4. $\dot W_\text{turb}=5{,}24\times 10^6\, \mt{ft\cdot\frac{lb}{s}}=9{,}52\times 10^3\,\,\mt{hp}$.
3. 1. $v=15{,}344\,\mt{m/s}=15\,\mt{m/s}$.
   2. $\dot W_\text{bomba}=5{,}6\,\mt{kW}$.
4. 1. $h_\text{bomba}=100\,\mt{ft}$.
   2. $\dot W_\text{bomba}=20{,}9\times 10^{3}\,\mt{ft\cdot\frac{lb}{s}}=37{,}9\,\mt{hp}$.
   3. $\dot W_\text{consumida}=27{,}8\times 10^{3}\,\mt{ft\cdot\frac{lb}{s}}=50{,}6\,\mt{hp}$.
5. 1. $\dot W_\text{turb}=2{,}6\times 10^{5}\, \mt{ft\cdot\frac{lb}{s}}=4{,}7\times 10^2\, \mt{hp}$.
   2. $\dot W_\text{gen}=2{,}1\times 10^{5}\, \mt{ft\cdot\frac{lb}{s}}=3{,}8\times 10^2\, \mt{hp}$.
   3. $\dot W_\text{bomba}=2{,}6\times 10^{5}\, \mt{ft\cdot\frac{lb}{s}}=4{,}7\times 10^2\, \mt{hp}$.
   4. $\dot W_\text{cons}=3{,}3\times 10^{5}\, \mt{ft\cdot\frac{lb}{s}}=5{,}9\times 10^2\, \mt{hp}$.
   El sistema pierde energía.
6. 1. $\dot W_\text{bomba}=3{,}2\, \mt{kW}$.
   2. $\dot V_1=30\,\mt{l/s}$ o $\dot V_2=0{,}48\,\mt{m^3/s}$, como hemos despreciado las pérdidas, debemos considerar la solución de menor caudal $\dot V=30\,\mt{l/s}$.