Guía 02: Distribuciones continuas de carga eléctrica

A continuación presentamos una guía de problemas sobre distribuciones continuas de carga eléctrica. Deberás encontrar el campo eléctrico que generan estas distribuciones así como la fuerza que ejercen sobre otras cargas. Además resolverás problemas sobre cargas eléctricas que se mueven en un campo eléctrico externo.

Barra con los extremos cargados. La carga total de la barra es nula a pesar de que cada extremo tiene carga. La densidad lineal de carga es $\lambda(x)=\frac{Q}{L^2}x$, donde $Q$ es un parámetro con unidades de carga eléctrica y $L$ es una distancia.

Índice

1. Integrales
2. Fuerza y campo eléctrico
3. Movimiento de cargas en campos eléctricos
4. Respuestas

Integrales

1. Calcule las siguientes integrales
   1. $$\int \frac{z\,dz}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}$$
   2. $$\int \frac{dy}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}}$$
   3. $$\int \tan\theta\,d\theta$$

Fuerza y campo eléctrico

1. A partir de los siguientes campos eléctricos, determine dónde se ubican y qué signo tienen las cargas eléctricas

   1. 

   2. 

2. La varilla de vidrio de la figura tiene una densidad de carga lineal uniforme $\lambda$ y su largo es $L$

   

   1. ¿Cuánta carga tiene la varilla?
   2. Determine el campo eléctrico en cualquier punto del plano $xz$.

   Indicación: Los puntos del plano $xz$ están ubicados en $\vec r=x\hat\imath+z\hat k$.

3. Una tira de plástico de largo $L$ y carga $+Q$ uniformemente distribuida, se ubica en un sistema de referencia como el que muestra la figura.

   

   Una carga $-q$ (negativa) es puesta en la posición $\vec r_{-q}=\frac{L}{2}\,\hat\imath$. Determine
   1. El campo eléctrico producido por la varilla en todo punto del eje $x$.
   2. La fuerza que ejerce (el campo de) la varilla sobre la carga $-q$.
4. Una varilla dieléctrica se dobla de manera que forma una semicircunferencia de radio $R$ como muestra la figura. La varilla tiene una carga negativa $-Q$, distribuida uniformemente.

   

   En el origen del sistema de referencia se coloca una carga positiva $+q$. Calcule
   1. La fuerza que ejerce la varilla sobre la carga $+q$.
   2. El campo eléctrico en la posición de la carga $+q$.
5. El disco de radio $R$ se encuentra cargado de modo que su densidad de carga superficial $\sigma$ es uniforme. Obtenga

   

   1. El campo eléctrico en cualquier punto del eje $z$.
   2. El valor de la carga en el disco.
   3. El límite en que $z\gg R$ (es decir, $R/z\rightarrow 0$). Compare con el campo producido por una carga puntual.

   Indicación: Utilice coordenadas cilíndricas (polares en el plano $xy$).

6. En la figura, el segmento de circunferencia de espesor despreciable tiene una densidad de carga lineal no uniforme dada por \begin{equation*} \lambda(\theta)=-\frac{Q}{R\cos\theta}, \end{equation*} donde $Q$ tiene unidades de carga, $R$ es el radio del segmento de circunferencia y $\theta$ es el ángulo polar.

   

   Determine
   1. La carga del semianillo.
   2. El campo eléctrico en el origen del sistema coordenado.

   Indicación: Considere la siguiente integral $\int \sec x\,dx=\ln(\sec x +\tan x)$.

Movimiento de cargas en campos eléctricos

1. Un electrón es acelerado hacia la dirección positiva del eje $z$ a razón de $1{,}84\times 10^{9}\,\mbf{m/s^2}$ por medio de un campo eléctrico. Determine la magnitud y la dirección del campo eléctrico.

   Indicación: La magnitud de la carga eléctrica del electrón es $e=1{,}60\times 10^{-19}\,\mbf{C}$ y su masa es $9{,}11\times 10^{-31}\,\mbf{kg}$.

2. En una región en que el campo eléctrico es uniforme $\vec E=500\, \hat k\,\mbf{\frac{N}{C}} $ se mueve un electrón. Cuando el electrón pasa por el origen del sistema coordenado se mueve con velocidad $\vec v=(5{,}00\,\hat\imath+8{,}66\,\hat k)\times 10^{5}\,\mbf{\frac{m}{s}}$.
   1. Determine la fuerza eléctrica que experimenta el electrón en esta región.
   2. Calcule el peso del electrón sabiendo que su masa es $9{,}11\times 10^{-31}\,\mbf{kg}$ y que la aceleración de gravedad en la superficie de la Tierra es $\vec g=-9{,}81\,\hat\jmath\,\mbf{\frac{m}{s^2}}$ ¿Que fuerza es más intensa, eléctrica o gravitacional? ¿Es necesario considerar la fuerza más débil?
   3. ¿Qué tipo de movimiento realiza el electrón? Determine las ecuaciones de itinerario y de velocidad que describen el movimiento del electrón.
3. Antes de la masificación de las pantallas planas, diversos dispositivos como monitores de computador, televisores, radares y osciloscopios, contaban con pantallas que funcionaban con un cañón de electrones. Suponga que el cañón consiste en un campo eléctrico unifome, que los electrones parten con rapidez despreciable y que deben alcanzar una velocidad $\vec v=5{,}00\times 10^5\,\hat\imath\,\mbf{m/s}$ en tan solo $1{,}50\,\mbf{cm}$ de recorrido.
   1. Defina un sistema de referencia apropiado ¿Qué movimiento realizan los electrones?
   2. Determine la aceleración en los $1{,}50\,\mbf{cm}$ de recorrido.
   3. Obtenga el vector campo eléctrico que acelera los electrones.

   Indicación: La pantallas que funcionan con un cañón de electrones se denominan CRT, Cathode Ray Tube (Tubo de Rayos Catódicos).

Respuestas

Integrales

1. 1. $\di-\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$.
   2. $\di\frac{y}{x^2\sqrt{x^2+y^2}}$.
   3. $\di-\ln|\cos\theta|$.

Fuerza y campo eléctrico

1. 1. Una línea vertical o una placa vertical vista de canto, de carga positiva.
   2. A la izquierda una línea vertical o una placa vertical vista de canto, de carga positiva. A la derecha otra línea o placa de carga negativa.
2. 1. $Q=\lambda L$
   2. \begin{multline*} \vec E(x,z)=\frac{\lambda}{4\pi\epsilon_0}\Biggl\{\frac{x\,L}{(x^2+z^2)\sqrt{x^2+z^2+L^2}}\,\hat\imath\\ +\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+z^2}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+z^2+L^2}}\right)\hat\jmath\\ +\frac{z\,L}{(x^2+z^2)\sqrt{x^2+z^2+L^2}}\,\hat k\Biggr\}. \end{multline*}
3. 1. $\di \vec E(x)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q}{x\sqrt{x^2+\frac{L^2}{4}}}\,\hat\imath$.
   2. $\di \vec F_e=-\frac{\sqrt{2}}{2\pi\epsilon_0}\,\frac{Qq}{L^2}\,\hat\imath$.
4. 1. $\di \vec F_e=\frac{1}{2\pi^2\epsilon_0}\,\frac{Qq}{R^2}\,\hat\jmath\qquad$.
   2. $\di \vec E=\frac{1}{2\pi^2\epsilon_0}\,\frac{Q}{R^2}\,\hat\jmath$.
5. 1. $\di \vec E(z)=\frac{\sigma\, z}{2\epsilon_0}\left(\frac{1}{|z|}-\frac{1}{\sqrt{z^2+R^2}}\right)\,\hat k$.
   2. $\di Q=\sigma \pi R^2$.
   3. $\di \vec E(z\gg R)=\frac{\sigma R^2}{4\epsilon_0}\frac{z}{|z|^3}\,\hat k=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{z}{|z|^3}\,\hat k$. Desde lejos el disco se ve como una carga puntual $Q$.
6. 1. $\di q=-Q\ln\left(\frac{2+\sqrt 3}{2-\sqrt 3}\right)$.
   2. $\di \vec E=\frac{1}{6\epsilon_0}\frac{Q}{R^2}\,\hat\imath$.

Movimiento de cargas en campos eléctricos

1. $E=10{,}5\,\mbf{mN/C}$ en la dirección $-\hat k$.
2. 1. $\vec F_e=-8{,}00\times 10^{-17}\,\hat k\,\mbf{N}$.
   2. $m\vec g=-8{,}94\times10^{-30}\,\hat\jmath\,\mbf{N}$, el peso es despreciable.
   3. Movimiento Parabólico. Con $t_0=0{,}00\,\mbf s$ cuando el electrón pasa por el origen, las ecuaciones cinemáticas son:
      $\di \vec r(t)=5{,}00\times 10^5\,t\,\hat\imath+(8{,}66\times 10^5\,t-4{,}39\times 10^{-13}\,t^2)\hat k$
      $\di \vec v(t)=5{,}00\times 10^5\,\hat\imath+(8{,}66\times 10^5-8{,}78\times 10^{-13}\,t)\hat k$.
3. 1. Consideremos que los electrones se mueven hacia la dirección positiva del eje $x$. Movimiento Rectilíneo Acelerado.
   2. $\vec a=8{,}33\times 10^{12}\,\hat\imath\,\mbf{m/s^2}$.
   3. $\vec E=-47{,}4\,\hat\imath\,\mbf{N/C}$.