Guía 04: Fuerzas de los fluidos estáticos sobre superficies planas

Ahora es el turno de resolver problemas que involucren la fuerza de un fluido estático sobre una superficie plana. Deberás calcular la fuerza normal de un fluido, el momento de la fuerza y el centro de presión. Además deberás determinar las condiciones de equilibrio que debe satisfacer una compuerta para permanecer cerrada.

Las compuertas de las esclusas de Gatún se abren para un crucero entrante desde el lado del Caribe del canal de Panamá. Estás compuertas deben resistir las fuerzas gigantescas que ejerce el agua contenida en las esclusas.
Creditos: Stan Shebs bajo licencia CC BY-SA 3.0.

Índice

1. Fuerzas y momentos
2. Constantes, datos y factores de conversión
3. Respuestas

Fuerzas y momentos

1. Determine la fuerza resultante y su punto de aplicación debida a la acción del agua sobre una superficie plana rectangular paralela a la vertical, de altura $AB = 2{,}50\,\mt{m}$ y de ancho $1{,}50\,\mt{m}$, donde el punto $A$, el más cercano a la superficie del agua, está a profundidad de $1{,}20\,\mt{m}$.

   Indicación: Calcule la fuerza total sobre una de las caras de la superficie.

2. El agua se eleva hasta la altura $c$ en el tubo soldado al tanque mostrado en la figura.

   

   Despreciando el peso del tubo
   1. Determine y localice la fuerza resultante que actúa sobre el área $Lb$.
   2. Determine la fuerza total en la base del tanque.
   3. Compare el peso total del agua con el resultado obtenido en $b)$ y explique la diferencia.
3. En el estanque de la figura, la compuerta puede girar con respecto a un eje que pasa por $O$ y se mantiene cerrada gracias a un cable amarrado a un soporte. En el estanque hay agua y el ancho de la compuerta es de $2{,}00\,\mt{m}$.

   

   Calcule
   1. La fuerza que ejerce el agua sobre la compuerta.
   2. La altura sobre $O$ del centro de presión y el momento de la fuerza del agua sobre la compuerta respecto al eje que pasa por $O$.
   3. La tensión en el cable.
4. En la figura, la compuerta mide $8{,}00\,\mt{ft}$ de ancho.

   

   Obtenga
   1. La presión en el centroide de la compuerta.
   2. La fuerza total sobre la compuerta.
   3. La presión en $B$ y la ubicación del centro de presión.
   4. El momento de esta fuerza respecto del fondo de la compuerta (en $A$).
5. Una placa se sumerge verticalmente en agua como muestra la figura.

   

   Calcule
   1. La fuerza hidrostática sobre la superficie $CDE$.
   2. El radio $r$ de un orificio que debe cortarse del centro de $ABCD$ para que la fuerza hidrostática sobre la superficie $ABCD$ sea igual a la fuerza hidrostática sobre la superficie $CDE$.
   3. El momento de la fuerza total respecto a $AB$.

   Indicación: Solo considere la fuerza que realiza el fluido sobre una cara de la figura.

6. Una placa rectangular $ABC$ puede rotar alrededor del pasador $B$, como muestra la figura.

   

   Si la placa mide $2{,}00\,\mt{m}$ de ancho y su peso por unidad de longitud es $1\, 000\,\mt{N/m}$, determine
   1. La fuerza total que realiza el agua sobre la placa.
   2. El momento de la fuerza del agua respecto del pasador en $B$.
   3. La mínima longitud $l$ para que producto de su peso la placa no deje escapar agua.
7. En la figura, el ancho de la compuerta $AB$ mide $4{,}00\,\mt{ft}$ y la densidad relativa del aceite es $\mt{DR_{aceite}}=0{,}600$.

   

   Encuentre
   1. La fuerza del agua sobre la compuerta y la altura sobre el fondo de la compuerta en $B$, a la que actúa esta fuerza.
   2. La fuerza que ejerce el aceite sobre la compuerta y la altura a la que actúa sobre $B$.
   3. La altura sobre el fondo de la compuerta a la que actúa la fuerza total y su momento con respecto a este punto.

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Constantes, datos y factores de conversión

• Aceleración de gravedad estándar
  $g=9{,}81\,\mt{m/s^2}= 32{,}2\,\mt{ft/s^2}$.
• Densidad del agua
  $\rho_{_{\ce{H2O}}}^{4{,}0^{\circ}\mt C}=1{,}00\times 10^3\,\mt{kg/m^3}=62{,}4\,\mt{lb_m/ft^3}$.
• Presión atmosférica estándar
  $p_\text{atm}\equiv 1\,\mt{atm}\equiv 101\,325\,\mt{Pa}=2\,116{,}2\,\mt{lb/ft^2}=14{,}696\,\mt{psi}$.
• $1\,\mt{ft}\equiv 30{,}48\,\mt{cm}\equiv 12\,\mt{in}$.
• $1\,\mt{lb_m}= 453{,}6\,\mt g$.
• $1\,\mt{lb_f}\equiv 1\,\mt{lb_m}\times g=4{,}448\,\mt N $.
• $1\,\mt{slug}\equiv 1\,\mt{\frac{lb_f}{ft/s^2}}= 32{,}2\,\mt{lb_m}$.
• $1\,\mt{bar}\equiv 10^5\,\mt{Pa}=2\,088{,}5\ \mt{lb/ft^2}=14{,}504\ \mt{psi}$.
• Propiedades geométricas de algunas superficies planas.
  1. Rectángulo

     

  2. Círculo

     

  3. Semicírculo

     

  4. Cuarto de círculo

     

  5. Triángulo rectángulo

     

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Respuestas

Fuerzas y momentos

1. $F=90{,}1\,\mt{kN}=90{,}1\times 10^3\,\mt{N}$, en la dirección horizontal. $h_{cp}=2{,}66\,\mt{m}$, $x_{cp}=x_c$
2. 1. $F=\rho_{_{\ce{H2O}}}\,gbL(c+b/2) $, hacia la izquierda.
      $h_{cp}=\frac{1}{6}\frac{b^2}{2c+b}+c+b/2$ respecto de la superficie al aire en el tubo, o de manera equivalente, a una altura, $h_\text{fondo}=b/2-\frac{1}{6}\frac{b^2}{2c+b}$ sobre el fondo.
      $x_{cp}=x_c$, a una distancia $\frac{L}{2}$ de la cara del frente.
   2. $F=\rho_{_{\ce{H2O}}}\,gaL(c+b) $, hacia abajo.
   3. $w=\rho_{_{\ce{H2O}}}\,g(abL+Sc)$, hacia abajo. Menor que la fuerza del fluido.
3. 1. $F_\text{agua}^\text{man}=39{,}2\,\mt{kN}=39{,}2\times 10^3\,\mt{N}$, horizontal hacia la derecha.
   2. $h_{_O}=0{,}667\,\mt{m}$, $M_{O}=26{,}1\,\mt{kN\cdot m}=26{,}1\times 10^{3}\,\mt{N\cdot m}$.
   3. $T=8{,}70\,\mt{kN}=8{,}70\times 10^3\,\mt{N}$.
4. 1. $p_c^\text{man}=6{,}26\times 10^3 \mt{lb/ft^3}=43{,}5\,\mt{psi}$
   2. $F=5{,}01\times 10^5\,\mt{lb}$, hacia la izquierda.
   3. $p_{_B}=5{,}95\times 10^3 \mt{lb/ft^3}=41{,}3\,\mt{psi}$,
      $h_{cp}$ a $5{,}08\,\mt{ft}$ bajo $B$ o $4{,}92\,\mt{ft}$ sobre $A$.
   4. $M_{_A}=2{,}46\times 10^6\,\mt{lb\cdot ft}$.
5. 1. $F_{_{CDE}}=24\,852\,\mt{N}=24{,}9\,\mt{kN}$.
   2. $r=0{,}735\,\mt{m}$.
   3. $M_{_{AB}}=73\,186\,\mt{N\cdot m}=73{,}2\,\mt{kN\cdot m}$.
6. 1. $F_\text{agua}=8{,}50\,\mt{kN}$.
   2. $M_\text{agua}=5{,}7\,\mt{kN\cdot m}$.
   3. $l=4{,}88\,\mt{m}$.
7. 1. $F_{_{\ce{H2O}}}=1{,}41\times 10^5\,\mt{lb}$, hacia la derecha en $30^\circ$ sobre la horizontal.
      $h_{cp}^{_{\ce{H2O}}}=5{,}004\,\mt{ft}$. Usando cifras significativas $h_{cp}^{_{\ce{H2O}}}=5{,}00\,\mt{ft}$.
   2. $F_{_\text{aceite}}=9{,}68\times 10^4\,\mt{lb}$, hacia la izquierda en $30^\circ$ bajo la horizontal.
      $h_{cp}^{^\text{aceite}}=5{,}003\,\mt{ft}$. Usando CS $h_{cp}^{^\text{aceite}}=5{,}00\,\mt{ft}$.
   3. $h_{cp}^{^\text{total}}=5{,}008\,\mt{ft}$. Usando CS $h_{cp}^{^\text{total}}=5{,}01\,\mt{ft}$.
      $M_{_B}^{^\text{total}}=2{,}55\times 10^5\,\mt{lb\cdot ft}$.