Guía 05: Capacitores

En esta guía deberás determinar la capacitancia de los condensadores más comunes a partir de sus características geométricas. También calcularás la carga y la energía eléctrica almacenada tanto en un condensador como en un arreglo de condensadores.

Un condensador o capacitor es un dispositivo que almacena carga eléctrica así como energía eléctrica. En la imagen se muestran diversos tipos de condensadores que se pueden encontrar en los circuitos de los artefactos del hogar.
Creditos: Eric Schrader bajo licencia CC BY-SA 2.0.

Índice

1. Capacitancia
2. Carga y energía almacenada en condensadores
3. Capacitancia equivalente
4. Respuestas

Capacitancia

1. Un condensador de placas paralelas consiste de dos placas conductoras de área $A$ separadas por una distancia $d$. Una placa tiene una carga $+q$, mientras la otra tiene carga opuesta $-q$, ambas uniformemente distribuidas. Determine
   1. El campo eléctrico entre las placas, suponiendo que el campo es uniforme entre ellas.
   2. La diferencia de potencial $V$ entre las placas.
   3. La capacitancia del condensador.
   4. La energía que almacena el condensador.
2. Un capacitor esférico consiste de dos cascarones de espesor despreciable, conductores, esféricos y concéntricos de radios $a$ y $b$ ($a < b$). Si el cascarón interior tiene carga $-q$ y el exterior $+q$, calcule
   1. El campo eléctrico entre las placas.
   2. La diferencia de potencial $V$ entre las placas.
   3. La capacitancia de este capacitor.
   4. La capacitancia si entre las placas se coloca un dieléctrico de constante dieléctrica $\kappa=5/4$.
3. Un condensador axial consiste en dos cilindros conductores coaxiales (con el mismo eje de simetría) de largo $L$, uno interior de radio $a$ y carga $+q$, y el otro exterior de radio $b$ ($a < b$) y de carga opuesta. Suponiendo que la distancia de separación entre los cilindros ($b-a$) es muy pequeña comparada con el largo $L$, determine
   1. El campo eléctrico y el potencial eléctrico en la zona entre los cilindros.
   2. El voltaje entre los cilindros.
   3. La capacitancia de este condensador.
   4. La energía que almacena este capacitor si entre las placas se introduce un dieléctrico cuya permitividad es $\epsilon=2\epsilon_0$.
4. Un capacitor de placas paralelas está lleno con dos dieléctricos de constantes $\kappa_1$ y $\kappa_2$ como se muestra en la figura.

   

   Si el voltaje entre las placas es $V$, la separación entre ellas es $d$ y el área de las placas es $A$, demuestre que la capacitancia es dada por \begin{equation*} C=\frac{\epsilon_{_{0}}A}{d}\left(\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}\right). \end{equation*}
5. Un capacitor de placas paralelas está lleno en partes iguales con dos dieléctricos como se muestra en la figura.

   

   Si el voltaje entre las placas es $V$, la separación entre ellas es $d$ y el área de las placas es $A$, demuestre que la capacitancia es dada por \begin{equation*} C=2\frac{\epsilon_{_{0}}A}{d} \left(\frac{\kappa_1\kappa_2}{\kappa_1 +\kappa_2}\right). \end{equation*}

Carga y energía almacenada en condensadores

1. Un capacitor de placas paralelas tiene placas circulares de $8{,}5\,\mbf{cm}$ de radio y $1{,}3\,\mbf{cm}$ de separación.
   1. Calcule la capacitancia.
   2. ¿Qué carga aparecerá en las placas si se aplica una diferencia de potencial de $115\,\mbf{V}$?
2. Las placas de un condensador esférico tienen radios de $38\,\mbf{mm}$ y $40\,\mbf{mm}$.
   1. Calcule la capacitancia.
   2. ¿Cuál debe ser el área de la placa de un capacitor de placas paralelas con la misma separación entre placas para que tenga la misma capacitancia?
3. ¿Cúantos condensadores de $1{,}0\, \mbf{\mu F}$ se necesitan para almacenar una carga de $1{,}0\,\mbf{C}$ si se conectan a una diferencia de potencial de $110\,\mbf{V}$?
4. Un capacitor de $108\,\mbf{pF}$ se carga a una diferencia de potencial de $52{,}4\,\mbf{V}$, luego la batería de carga se desconecta. En seguida el capacitor se conecta en paralelo con un segundo capacitor, inicialmente descargado. La diferencia de potencial es entonces de $35{,}8\,\mbf{V}$. Encuentre la capacitancia del segundo capacitor.

   Indicación: Parte de la carga eléctrica con que se carga el primer capacitor se transfiere al capacitor inicialmente descargado. Considere que no hay pérdida de carga al ambiente.

5. Un capacitor de placas paralelas en aire que tiene un área de $42\,\mbf{cm^2}$ y una distancia de separación de $1{,}3\,\mbf{mm}$ se carga a una diferencia de potencial de $625\,\mbf{V}$. Determine
   1. La capacitancia.
   2. La magnitud de la carga en cada placa.
   3. La energía almacenada.

Capacitancia equivalente

1. Se cuenta con tres capacitores de idéntica capacitancia $C$. Calcule
   1. La capacitancia equivalente de los capacitores en un arreglo en serie.

      

   2. La capacitancia equivalente de los capacitores en un arreglo en paralelo.

      

2. La figura muestra un arreglo de condensadores. Las capacitancias de los condensadores son $C_1=2{,}30\,\mbf{\mu F}$, $C_2=5{,}50\,\mbf{\mu F}$ y $C_3=3{,}90\,\mbf{\mu F}$.

   

   Determine la capacitancia equivalente entre $a$ y $b$.
3. En el arreglo de capacitores, las capacitancias son $C_1=C_3=8{,}0\,\mbf{\mu F}$ y $C_2=C_4=16\,\mbf{\mu F}$.

   

   1. Determine la capacitancia equivalente entre los puntos $a$ y $b$.
   2. Calcule la carga almacenada en cada capacitor si la diferencia de potencial entre $a$ y $b$ es $6{,}0\,\mbf V$.
4. Dos condensadores de $2{,}12\, \mbf{\mu F}$ y $3{,}88\,\mbf{\mu F}$ de capacitancia, están conectados en serie a una diferencia de potencial de $328\,\mbf{V}$. Obtenga
   1. La capacitancia equivalente de la combinación.
   2. La energía eléctrica total almacenada en los condensadores.
   3. La carga eléctrica almacenada en cada condensador.
   4. La diferencia de potencial a la que está sujeto cada condensador.
5. Cuatro condensadores están conectados a una batería como muestra la figura. Obtenga

   

   1. La capacitancia equivalente del sistema.
   2. La carga total almacenda en el sistema.
   3. La carga de cada condensador.
   4. La diferencia de potencial a través de cada condensador.

Respuestas

Capacitancia

1. 1. $E=\frac{+q}{A\epsilon_0}$ desde la placa positiva a la negativa.
   2. $V=|\Delta \phi|=\frac{qd}{A\epsilon_0}$ donde la placa positiva está a mayor potencial.
   3. $C=\frac{A\epsilon_0}{d}$
   4. $U_e=\frac{1}{2}\frac{q^2d}{A\epsilon_0}$
2. 1. $\vec E(a < r < b)=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\,\hat r$
   2. $V=|\Delta \phi|=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$. El cascarón cargado positivo (de radio $b$) está a mayor potencial
   3. $C=4\pi\epsilon_0\frac{ab}{b-a}$
   4. $C=5\pi\epsilon_0\frac{ab}{b-a}$
3. 1. $\vec E(a < \rho\leq b)=\frac{1}{2\pi\epsilon_0}\frac{+q}{L\rho}\,\hat\rho$, $\phi(a < \rho\leq b)=\frac{1}{2\pi\epsilon_0}\frac{+q}{L}\ln\left(\frac{b}{\rho}\right)$ donde $\rho$ mide la distancia al eje de los cilindros.
   2. $V=|\Delta\phi|=\frac{1}{2\pi\epsilon_0}\frac{q}{L}\ln\left(\frac{b}{a}\right)$. El cilindro positivo (de radio $a$) está a mayor potencial.
   3. $C=\frac{2\pi\epsilon_0L}{\ln\left(\frac{b}{a}\right)}$
   4. $U_e=\frac{1}{8\pi\epsilon_0}\frac{q^2\ln\left(\frac{b}{a}\right)}{ L}$

Carga y energía almacenada en condensadores

1. 1. $C=15\,\mbf{pF}$
   2. $q=1{,}7\,\mbf{nC}$
2. 1. $C=84\,\mbf{pF}$
   2. $A=0{,}019\,\mbf{m^2}$
3. $n=9{,}1\times 10^3$, unos $9\,100$ capacitores
4. $C_2=50{,}0\,\mbf{pF}$
5. 1. $C=29\,\mbf{pF}$
   2. $q=18\,\mbf{nC}$
   3. $U_e=5{,}7\,\mbf{\mu J}$

Capacitancia equivalente

1. 1. $C_\text{eq}=\frac{C}{3}$
   2. $C_\text{eq}=3C$
2. $C_\text{eq}=2{,}60\,\mbf{\mu F}$
3. 1. $C_\text{eq}=12\,\mbf{\mu F}$
   2. $Q_1=Q_3=24\,\mbf{\mu C}$, $Q_2=Q_4=48\,\mbf{\mu C}$
4. 1. $C_\text{eq}=1{,}37\,\mbf{\mu F}$
   2. $U_e=73{,}7\,\mbf{mJ}$
   3. $Q_{2{,}12\,\mbf{\mu F}}=Q_{3{,}18\,\mbf{\mu F}}=450\,\mbf{\mu C}$
   4. $V_{2{,}12\,\mbf{\mu F}}=212\,\mbf{V}$, $V_{3{,}88\,\mbf{\mu F}}=116\,\mbf{V}$
5. 1. $C_\text{eq}=333\,\mbf{nF}$
   2. $Q_\text{total}=8{,}00\,\mbf{\mu C}$
   3. $Q_{300\,\mbf{nC}}=Q_{600\,\mbf{nC}}=4{,}80\,\mbf{\mu C}$, $Q_{200\,\mbf{nC}}=Q_{400\,\mbf{nC}}=3{,}20\,\mbf{\mu C}$
   4. $V_{300\,\mbf{nC}}=16{,}0\,\mbf{V}$, $V_{600\,\mbf{nC}}=8{,}00\,\mbf{V}$, $V_{200\,\mbf{nC}}=16{,}0\,\mbf{V}$, $V_{400\,\mbf{nC}}=8{,}00\,\mbf{V}$