Guía 06: Fuerza de flotación

Ha llegado el turno de resolver algunos problemas de flotación y de la estabilidad de cuerpos flotantes. Aquí calcularás, la fuerza de flotación o fuerza de empuje, el peso aparente de un cuerpo sumergido, la posición del centro de gravedad, la del centro de empuje y la altura metacéntrica.

La fuerza de flotación es la responsable de mantener a flote las embarcaciones, mientras que el análisis de estabilidad es indispensable para evitar su volcamiento. En la imagen, el crucero Symphony of the Seas que con sus más de $360\,\mt m$ de eslora (longitud), $66\,\mt{m}$ de manga máxima (ancho) y $72\,\mt{m}$ de calado aéreo (altura sobre la línea de flotación) es el crucero más grande del mundo. Cuenta con 16 cubiertas de pasajeros lo que nos da la imagen de un edificio flotante.
Creditos: Darthvadrouw bajo licencia CC BY-SA 4.0.

Índice

1. Fuerza de flotación: empuje
2. Estabilidad de flotación
3. Constantes, datos y factores de conversión
4. Respuestas

Fuerza de flotación: empuje

1. Calcule el empuje que experimenta un cuerpo que flota sobre un líquido de densidad igual a $50{,}0\,\mt{lb_m/ft^3}$, desalojando $120\,\mt{in^3}$ de líquido.
2. Encuentre el volumen que se encuentra sumergido en un barco de $10\,000\,\mt{ton}$ que flota en equilibrio si la densidad del agua del mar es $1\,030\,\mt{kg/m^3}$. Una tonelada (ton) equivale a $1\,000\,\mt{kg}$.
   
3. Una pelota de plástico tiene $0{,}800\,\mt{ft}$ de radio y flota en agua con el $25{,}0\%$ de su volumen sumergido.
   1. ¿Qué fuerza se debe aplicar a la pelota para sostenerla en reposo totalmente sumergida en agua?
   2. Si se suelta la pelota ¿Qué aceleración tendrá en el instante en que se suelte?
4. Se quiere diseñar un globo aerostático que pueda levantar una carga de $200\,\mt{kg}$. El aire en el interior del mismo se calienta con una llama de manera que su densidad es $0{,}950\,\mt{kg/m^3}$ mientras que el aire exterior, más frío, tiene una densidad de $1{,}0\,\mt{kg/m^3}$ ¿Cuál es el radio mínimo que debe tener el globo?
5. Un cuerpo cuelga del techo mediante un hilo. Cuando está suspendido en el aire, la tensión del hilo es $180\,\mt{lb}$ y cuando está sumergido totalmente en agua la tensión en el hilo que lo sostiene es $45{,}0\,\mt{lb}$. Obtenga la densidad promedio del cuerpo.
6. Un cuerpo tiene un peso aparente de $1\,000\,\mt{N}$ sumergido totalmente en agua y de $600\,\mt{N}$ sumergido totalmente en cloroformo ($\ce{CHCl3}$). Obtenga su peso aparente cuando está sumergido totalmente en alcohol etílico ($\ce{C2H5-OH}$).
7. Se sumerge un cuerpo de forma irregular y material homogéneo pero de densidad desconocida en etanol y en agua, obteniendo pesos aparentes de $15{,}0\,\mt{lb}$ y $13{,}5\,\mt{lb}$, respectivamente. Determine
   1. El peso del cuerpo.
   2. La densidad del cuerpo.
   Etanol, también conocido como alcohol etílico.
   
8. El rey Hierón le entregó $2{,}50\,\mt{kg}$ de oro a su joyero para la construcción de la corona real. Si bien ese fue el peso de la corona terminada, el rey sospechó que el artesano lo había estafado sustituyendo oro por plata en el interior oculto de la corona. Le encomendó entonces a Arquímedes que dilucidara la cuestión sin dañar la corona. Arquímedes sumergió la corona en agua y observó que el volumen de líquido desplazado era de $166\,\mt{cm^3}$
   1. ¿Cuál debería ser el volumen de líquido desplazado por la corona hecha de $2{,}50\,\mt{kg}$ de oro? ¿Era de oro la corona del rey Hierón?
   2. ¿Qué cantidad de oro sustituyó el joyero por plata?
9. Un hombre que está pescando en el Mar Egeo pesca accidentalmente un artefacto antiguo de oro. Mientras está levantando el tesoro, la tensión en su línea es $120\,\mt{N}$. Si la densidad del agua de mar es $1{,}03\times10^3\,\mt{kg/m^3}$ ¿Cuál será la tensión cuando saque el objeto del agua? Aquí nos referimos al hilo de pescar como línea.
   Nota: Si usted engancha un tesoro o un pez grande, no lo levante del agua, el cordel puede romperse.
   
10. Disponemos de una plancha de corcho de $10{,}0\,\mt{cm}$ de espesor. Calcular la superficie mínima que se debe emplear para que flote en el mar sosteniendo a un náufrago de $70{,}0\,\mt{kg}$. Suponga que la densidad del corcho es de $0{,}240\,\mt{g/cm^3}$ y la densidad del agua de mar es $1{,}03\,\mt{g/cm^3}$.

    

    Nota: Entendemos por superficie mínima la que permite mantener al hombre completamente fuera del agua aunque la tabla esté totalmente inmersa en ella.
    
11. Un cuerpo de forma rectangular de $0{,}400\,\mt{ft}$ de espesor está flotando en un pequeño estanque con tres cuartos de su volumen sumergido. Si un camión cisterna derrama en el estanque pentano $\ce{C5H12}$, quedando la cara superior del cuerpo justamente a nivel de la superficie del interfase pentano-aire ¿Cuál es el espesor de la capa de pentano?

    

12. Un objeto cúbico de lado $L$ y peso $w$ está suspendido, mediante un alambre, de modo que su cara superior se encuentra sumergida a una profundidad $h$ en un líquido de densidad $\rho$, contenido en un tanque abierto al aire. En términos de $L$, $w$, $h$, $\rho$, $p_\text{atm}$ y $g$, determine
    1. La fuerza total ejercida por el líquido y por la atmósfera sobre la parte superior del objeto.
    2. La fuerza total hacia arriba en la base del objeto.
    3. La tensión en el alambre.
    4. El empuje sobre el cuerpo.
13. En la figura se observa una esfera unida, mediante una cuerda inextensible y de masa despreciable, a un cilindro sumergido que flota en el interior de un recipiente lleno de líquido de densidad $1{,}04\,\mt{g/cm^3}$.

    

    El volumen de la esfera es $V_{e} = 0{,}500\,\mt{m^3}$, su densidad es $120\,\mt{kg/m^3}$ y flota con la mitad de su volumen sumergido. Si el cilindro tiene una densidad de $3\,040\,\mt{kg/m^3}$, calcule
    1. El volumen $V_c$ del cilindro.
    2. La tensión de la cuerda.

Estabilidad de flotación

1. Un bloque cilíndrico de madera mide $1{,}00\,\mt{m}$ de largo y $1{,}00\,\mt{m}$ de diámetro. Si se intenta hacer que el cilindro flote con su eje en posición vertical y su peso específico es de $8{,}00\,\mt{kN/m^3}$
   1. ¿Cuál es la longitud del cilindro que permanece sumergirda?
   2. ¿En que posición se encuentran el centro de gravedad y el centro de flotación?
   3. ¿El cilindro flota de manera estable o inestable?
2. La figura muestra una barcaza utilizada para transportar materiales. la barcaza se carga de modo que su centro de gravedad se encuentra a $12{,}0\,\mt{ft}$ sobre el fondo y flota con $8{,}00\, \mt{ft}$ sumergidos.

   

   Obtenga
   1. La distancia $GB$ entre el centro de gravedad y el centro de empuje de la barcaza cargada.
   2. El mínimo valor del ancho $a$ para que la barcaza flote de manera estable en agua de mar.
3. En la figura se muestra la sección transversal de una embarcación y su línea de flotación. Si el casco tiene largo $5{,}00\, \mt{m}$ y el centro de gravedad se encuentra a $0{,}20\,\mt{m}$ bajo la línea de flotación.

   

   Determine
   1. La posición del centro de empuje de la embarcación.
   2. La posición del metacentro ¿Es estable la embarcación?
   Indicación: El centroide de un triángulo isósceles se encuentra en su eje de simetría a una distancia $h/3$ de su base, con $h$ su altura.
   
4. El cono de la figura está hecho de madera de pino con peso específico $30{,}0\, \mt{lb/ft^3}$.

   

   1. ¿Tendrá estabilidad en la posición que se muestra si flota en agua?
   2. ¿Sería estable si fuera de madera de teca con peso específico $55{,}0\, \mt{lb/ft^3}$?
   Indicación: El centroide de un cono se encuentra en su eje de simetría a una distancia $h/4$ de su base, con $h$ su altura.
   
5. Para analizar las condiciones de flotabilidad de un tronco de árbol, este puede modelarse como un cilindro de diámetro $D$ y largo $L$, con densidad $\rho$.
   1. Si se desea hacerlo flotar de manera estable respecto de su eje vertical (largo), el largo del tronco debe estar limitado a un cierto máximo en relación al diámetro. Encuentre una relación entre $(L/D)$ y la densidad de la madera $\rho$ para asegurar que el tronco flota de manera estable en la posición indicada.
   2. Otra alternativa es que el tronco flote estable respecto de su eje horizontal (diámetro), pero ello también requiere que el largo cumpla ciertas condiciones en relación al diámetro. Encuentre una relación entre $(L/D)$ y la densidad de la madera $\rho$ para asegurar que el tronco flote de manera estable respecto de su eje horizontal.

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Constantes, datos y factores de conversión

• Aceleración de gravedad estándar
  $g=9{,}81\,\mt{m/s^2}= 32{,}2\,\mt{ft/s^2}$.
• Presión atmosférica estándar
  $p_\text{atm}\equiv 1\,\mt{atm}\equiv 101\,325\,\mt{Pa} = 2\,116{,}2\,\mt{lb/ft^2} = 14{,}696\,\mt{psi}$.
• Densidad del agua
  $\rho_{_{\ce{H2O}}}^{4{,}0^{\circ}\mt C}=1{,}00\times 10^3\,\mt{kg/m^3}=62{,}4\,\mt{lb_m/ft^3}$.
• Densidad promedio del agua de mar
  $\rho_{_\text{mar}}=1{,}025\times 10^3\,\mt{kg/m^3}=63{,}96\,\mt{lb_m/ft^3}.$
• Densidad del aire en el estado estándar ($T=25^\circ\mt C=77^\circ\mt F$ y $p=1{,}0\,\mt{atm}$)
  $\rho_{_\text{aire}}=1{,}18\,\mt{kg/m^3}=7{,}36\times 10^{-2}\,\mt{lb_m/ft^3}.$
• Densidad del alcohol etílico $\ce{C2H5-OH}$
  $\rho_{_\text{etanol}}=0{,}789\,\mt{g/cm^3}=49{,}2\,\mt{lb_m/ft^3}.$
• Densidad del cloroformo $\ce{CHCl3}$
  $\rho_{_{\ce{CHCl3}}}=1{,}49\,\mt{g/cm^3}=92{,}9\,\mt{lb_m/ft^3}.$
• Densidad del oro $\ce{Au}$
  $\rho_{_{\ce{Au}}}=19{,}3\,\mt{g/cm^3}.$
• Densidad de la plata $\ce{Ag}$
  $\rho_{_{\ce{Ag}}}=10{,}5\,\mt{g/cm^3}.$
• Peso específico del pentano $\ce{C5H12}$
  $\gamma_{_\text{pentano}}=39{,}1\,\mt{lb/ft^3}$.
• $1\,\mt{ft}\equiv 30{,}48\,\mt{cm}\equiv 12\,\mt{in}$.
• $1\,\mt{lb_m}= 453{,}6\,\mt g$.
• $1\,\mt{lb_f}\equiv 1\,\mt{lb_m}\times g=4{,}448\,\mt N $.
• $1\,\mt{slug}\equiv 1\,\mt{\frac{lb_f}{ft/s^2}}= 32{,}2\,\mt{lb_m}$.
• $1\,\mt{bar}\equiv 10^5\,\mt{Pa}=2\,088{,}5\,\mt{lb/ft^2}=14{,}504\,\mt{psi}$.
• Propiedades geométricas de algunas superficies planas.
  1. Rectángulo

     

  2. Círculo

     

  3. Semicírculo

     

  4. Cuarto de círculo

     

  5. Triángulo rectángulo

     

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Respuestas

Fuerza de flotación: empuje

1. $F_E=3{,}47\,\mt{lb}$, vertical hacia arriba.
2. $V=9\,709\,\mt{m^3}$.
3. 1. $F=100\,\mt{lb}$, vertical hacia abajo.
   2. $a=3g=96{,}6\,\mt{ft/s^2}$, vertical hacia arriba.
4. $R=5{,}8\,\mt{m}$.
5. $\rho=83{,}2\,\mt{lb_m/ft^3}=2{,}58\,\mt{slug/ft^3}$.
6. $\text{PA}_\text{etanol}=1\,172\times 10^3\,\mt{N}=1{,}172\,\mt{kN}$.
7. 1. $mg=20{,}6\,\mt{lb}$.
   2. $\rho=181\,\mt{lb_m/ft^3}=5{,}63\,\mt{slug/ft^3}$.
8. 1. $V_{\ce{Au}}=130\,\mt{cm^3}$ distinto de $166\,\mt{cm^3}$, la corona no era solo de oro.
   2. $m=840\,\mt{g}=0{,}840\,\mt{kg}$ de oro fueron sustituidos por la misma masa en plata.
9. $T=127\,\mt{N}$.
10. $A=8\,861\,\mt{cm^2}=0{,}89\,\mt{m^2}$.
11. $e=0{,}268\,\mt{ft}=3{,}21\,\mt{in}$.
12. 1. $F_v^{\downarrow}=(p_\text{atm}+\rho gh)L^2$, hacia abajo.
    2. $F_v^{\uparrow}=\Bigl(p_\text{atm}+\rho g(h+L)\Bigr)L^2$, hacia arriba.
    3. $T=w-\rho gL^3$, hacia arriba, suponiendo que el cubo no flota en el líquido.
    4. $F_E=\rho gL^3$, hacia arriba.
13. 1. $V_c=0{,}100\,\mt{m^3}$.
    2. $T=1\,962\,\mt N=1{,}96\,\mt{kN}$.

Estabilidad de flotación

1. 1. $h=0{,}815\,49\,\mt m=0{,}815\,\mt m$.
   2. $G$ se encuentra en el centro del cilindro, mientras que $B$ está $0{,}092\,25\,\mt{m}=0{,}092\,\mt{m}$ más abajo.
   3. La altura metacéntrica es $MG=-0{,}0156\,\mt{m}$, menor que cero de modo que flota de manera inestable.
2. 1. $GB=0{,}80\,\mt{ft}$.
   2. $a_\text{min}=0{,}80\sqrt{12}\,\mt{ft}=28\, \mt{ft}$.
3. 1. El centro de flotación (o de empuje) $B$ se ubica en el eje de simetría de la embarcación a $0{,}6125\,\mt{m}=0{,}61\,\mt{m}$ bajo la línea de flotación.
   2. El metacentro $M$ se ubica en el eje de simetría a $0{,}125=0{,}12\,\mt{m}$ bajo el centro de gravedad $G$. Dado que el metacentro se ubica bajo el centro de gravedad se concluye que la embarcación es inestable.
4. 1. No es estable pues el metacentro se encuentra bajo el centro de gravedad.
   2. Sí es estable pues el metacentro se encuentra sobre el centro de gravedad.
5. 1. Para que sea estable se debe cumplir que $\frac{L}{D}<\frac{\rho_f}{\sqrt{8\rho\left(\rho_f-\rho\right)}}$, donde $\rho_f$ es la densidad del fluido.
   2. Para que sea estable se debe cumplir que $\frac{L}{D}>2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$.