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Guía 06: Fuerza de flotación

Ha llegado el turno de resolver algunos problemas de flotación y de la estabilidad de cuerpos flotantes. Aquí calcularás, la fuerza de flotación o fuerza de empuje, el peso aparente de un cuerpo sumergido, la posición del centro de gravedad, la del centro de empuje y la altura metacéntrica.
Crucero Symphony of the Seas.
La fuerza de flotación es la responsable de mantener a flote las embarcaciones, mientras que el análisis de estabilidad es indispensable para evitar su volcamiento. En la imagen, el crucero Symphony of the Seas que con sus más de 360m de eslora (longitud), 66m de manga máxima (ancho) y 72m de calado aéreo (altura sobre la línea de flotación) es el crucero más grande del mundo. Cuenta con 16 cubiertas de pasajeros lo que nos da la imagen de un edificio flotante.
Creditos: Darthvadrouw bajo licencia CC BY-SA 4.0.

Fuerza de flotación: empuje

  1. Calcule el empuje que experimenta un cuerpo que flota sobre un líquido de densidad igual a 50,0lbm/ft3, desalojando 120in3 de líquido.
  2. Encuentre el volumen que se encuentra sumergido en un barco de 10000ton que flota en equilibrio si la densidad del agua del mar es 1030kg/m3. Una tonelada (ton) equivale a 1000kg.
  3. Una pelota de plástico tiene 0,800ft de radio y flota en agua con el 25,0% de su volumen sumergido.
    1. ¿Qué fuerza se debe aplicar a la pelota para sostenerla en reposo totalmente sumergida en agua?
    2. Si se suelta la pelota ¿Qué aceleración tendrá en el instante en que se suelte?
  4. Se quiere diseñar un globo aerostático que pueda levantar una carga de 200kg. El aire en el interior del mismo se calienta con una llama de manera que su densidad es 0,950kg/m3 mientras que el aire exterior, más frío, tiene una densidad de 1,0kg/m3 ¿Cuál es el radio mínimo que debe tener el globo?
  5. Un cuerpo cuelga del techo mediante un hilo. Cuando está suspendido en el aire, la tensión del hilo es 180lb y cuando está sumergido totalmente en agua la tensión en el hilo que lo sostiene es 45,0lb. Obtenga la densidad promedio del cuerpo.
  6. Un cuerpo tiene un peso aparente de 1000N sumergido totalmente en agua y de 600N sumergido totalmente en cloroformo (CHCl3). Obtenga su peso aparente cuando está sumergido totalmente en alcohol etílico (C2H5OH).
  7. Se sumerge un cuerpo de forma irregular y material homogéneo pero de densidad desconocida en etanol y en agua, obteniendo pesos aparentes de 15,0lb y 13,5lb, respectivamente. Determine
    1. El peso del cuerpo.
    2. La densidad del cuerpo.
    Etanol, también conocido como alcohol etílico.
  8. El rey Hierón le entregó 2,50kg de oro a su joyero para la construcción de la corona real. Si bien ese fue el peso de la corona terminada, el rey sospechó que el artesano lo había estafado sustituyendo oro por plata en el interior oculto de la corona. Le encomendó entonces a Arquímedes que dilucidara la cuestión sin dañar la corona. Arquímedes sumergió la corona en agua y observó que el volumen de líquido desplazado era de 166cm3
    1. ¿Cuál debería ser el volumen de líquido desplazado por la corona hecha de 2,50kg de oro? ¿Era de oro la corona del rey Hierón?
    2. ¿Qué cantidad de oro sustituyó el joyero por plata?
  9. Un hombre que está pescando en el Mar Egeo pesca accidentalmente un artefacto antiguo de oro. Mientras está levantando el tesoro, la tensión en su línea es 120N. Si la densidad del agua de mar es 1,03×103kg/m3 ¿Cuál será la tensión cuando saque el objeto del agua? Aquí nos referimos al hilo de pescar como línea.
    Nota: Si usted engancha un tesoro o un pez grande, no lo levante del agua, el cordel puede romperse.
  10. Disponemos de una plancha de corcho de 10,0cm de espesor. Calcular la superficie mínima que se debe emplear para que flote en el mar sosteniendo a un náufrago de 70,0kg. Suponga que la densidad del corcho es de 0,240g/cm3 y la densidad del agua de mar es 1,03g/cm3.
    Un náufrago a salvo sobre una plancha de corcho
    Nota: Entendemos por superficie mínima la que permite mantener al hombre completamente fuera del agua aunque la tabla esté totalmente inmersa en ella.
  11. Un cuerpo de forma rectangular de 0,400ft de espesor está flotando en un pequeño estanque con tres cuartos de su volumen sumergido. Si un camión cisterna derrama en el estanque pentano C5H12, quedando la cara superior del cuerpo justamente a nivel de la superficie del interfase pentano-aire ¿Cuál es el espesor de la capa de pentano?
    Un bloque que flota en agua con una capa de pentano
  12. Un objeto cúbico de lado L y peso w está suspendido, mediante un alambre, de modo que su cara superior se encuentra sumergida a una profundidad h en un líquido de densidad ρ, contenido en un tanque abierto al aire. En términos de L, w, h, ρ, patm y g, determine
    1. La fuerza total ejercida por el líquido y por la atmósfera sobre la parte superior del objeto.
    2. La fuerza total hacia arriba en la base del objeto.
    3. La tensión en el alambre.
    4. El empuje sobre el cuerpo.
  13. En la figura se observa una esfera unida, mediante una cuerda inextensible y de masa despreciable, a un cilindro sumergido que flota en el interior de un recipiente lleno de líquido de densidad 1,04g/cm3.
    Esfera unida a un cilindro sumergido en un líquido
    El volumen de la esfera es Ve=0,500m3, su densidad es 120kg/m3 y flota con la mitad de su volumen sumergido. Si el cilindro tiene una densidad de 3040kg/m3, calcule
    1. El volumen Vc del cilindro.
    2. La tensión de la cuerda.

Estabilidad de flotación

  1. Un bloque cilíndrico de madera mide 1,00m de largo y 1,00m de diámetro. Si se intenta hacer que el cilindro flote con su eje en posición vertical y su peso específico es de 8,00kN/m3
    1. ¿Cuál es la longitud del cilindro que permanece sumergirda?
    2. ¿En que posición se encuentran el centro de gravedad y el centro de flotación?
    3. ¿El cilindro flota de manera estable o inestable?
  2. La figura muestra una barcaza utilizada para transportar materiales. la barcaza se carga de modo que su centro de gravedad se encuentra a 12,0ft sobre el fondo y flota con 8,00ft sumergidos.
    Barcaza rectangular
    Obtenga
    1. La distancia GB entre el centro de gravedad y el centro de empuje de la barcaza cargada.
    2. El mínimo valor del ancho a para que la barcaza flote de manera estable en agua de mar.
  3. En la figura se muestra la sección transversal de una embarcación y su línea de flotación. Si el casco tiene largo 5,00m y el centro de gravedad se encuentra a 0,20m bajo la línea de flotación.
    Estabilidad de una embarcación
    Determine
    1. La posición del centro de empuje de la embarcación.
    2. La posición del metacentro ¿Es estable la embarcación?
    Indicación: El centroide de un triángulo isósceles se encuentra en su eje de simetría a una distancia h/3 de su base, con h su altura.
  4. El cono de la figura está hecho de madera de pino con peso específico 30,0lb/ft3.
    Estabilidad de un cono
    1. ¿Tendrá estabilidad en la posición que se muestra si flota en agua?
    2. ¿Sería estable si fuera de madera de teca con peso específico 55,0lb/ft3?
    Indicación: El centroide de un cono se encuentra en su eje de simetría a una distancia h/4 de su base, con h su altura.
  5. Para analizar las condiciones de flotabilidad de un tronco de árbol, este puede modelarse como un cilindro de diámetro D y largo L, con densidad ρ.
    1. Si se desea hacerlo flotar de manera estable respecto de su eje vertical (largo), el largo del tronco debe estar limitado a un cierto máximo en relación al diámetro. Encuentre una relación entre (L/D) y la densidad de la madera ρ para asegurar que el tronco flota de manera estable en la posición indicada.
    2. Otra alternativa es que el tronco flote estable respecto de su eje horizontal (diámetro), pero ello también requiere que el largo cumpla ciertas condiciones en relación al diámetro. Encuentre una relación entre (L/D) y la densidad de la madera ρ para asegurar que el tronco flote de manera estable respecto de su eje horizontal.

Constantes, datos y factores de conversión

  • Aceleración de gravedad estándar
    g=9,81m/s2=32,2ft/s2.
  • Presión atmosférica estándar
    patm1atm101325Pa=2116,2lb/ft2=14,696psi.
  • Densidad del agua
    ρ4,0CH2O=1,00×103kg/m3=62,4lbm/ft3.
  • Densidad promedio del agua de mar
    ρmar=1,025×103kg/m3=63,96lbm/ft3.
  • Densidad del aire en el estado estándar (T=25C=77F y p=1,0atm)
    ρaire=1,18kg/m3=7,36×102lbm/ft3.
  • Densidad del alcohol etílico C2H5OH
    ρetanol=0,789g/cm3=49,2lbm/ft3.
  • Densidad del cloroformo CHCl3
    ρCHCl3=1,49g/cm3=92,9lbm/ft3.
  • Densidad del oro Au
    ρAu=19,3g/cm3.
  • Densidad de la plata Ag
    ρAg=10,5g/cm3.
  • Peso específico del pentano C5H12
    γpentano=39,1lb/ft3.
  • 1ft30,48cm12in.
  • 1lbm=453,6g.
  • 1lbf1lbm×g=4,448N.
  • 1slug1lbfft/s2=32,2lbm.
  • 1bar105Pa=2088,5lb/ft2=14,504psi.
  • Propiedades geométricas de algunas superficies planas.
    1. Rectángulo
      Propiedades geométricas del rectángulo
    2. Círculo
      Propiedades geométricas del círculo
    3. Semicírculo
      Propiedades geométricas del semicírculo
    4. Cuarto de círculo
      Propiedades geométricas un cuarto de círculo
    5. Triángulo rectángulo
      Propiedades geométricas del triángulo rectángulo

Respuestas

Fuerza de flotación: empuje

  1. FE=3,47lb, vertical hacia arriba.
  2. V=9709m3.
    1. F=100lb, vertical hacia abajo.
    2. a=3g=96,6ft/s2, vertical hacia arriba.
  3. R=5,8m.
  4. ρ=83,2lbm/ft3=2,58slug/ft3.
  5. PAetanol=1172×103N=1,172kN.
    1. mg=20,6lb.
    2. ρ=181lbm/ft3=5,63slug/ft3.
    1. VAu=130cm3 distinto de 166cm3, la corona no era solo de oro.
    2. m=840g=0,840kg de oro fueron sustituidos por la misma masa en plata.
  6. T=127N.
  7. A=8861cm2=0,89m2.
  8. e=0,268ft=3,21in.
    1. Fv=(patm+ρgh)L2, hacia abajo.
    2. Fv=(patm+ρg(h+L))L2, hacia arriba.
    3. T=wρgL3, hacia arriba, suponiendo que el cubo no flota en el líquido.
    4. FE=ρgL3, hacia arriba.
    1. Vc=0,100m3.
    2. T=1962N=1,96kN.

Estabilidad de flotación

    1. h=0,81549m=0,815m.
    2. G se encuentra en el centro del cilindro, mientras que B está 0,09225m=0,092m más abajo.
    3. La altura metacéntrica es MG=0,0156m, menor que cero de modo que flota de manera inestable.
    1. GB=0,80ft.
    2. amin=0,8012ft=28ft.
    1. El centro de flotación (o de empuje) B se ubica en el eje de simetría de la embarcación a 0,6125m=0,61m bajo la línea de flotación.
    2. El metacentro M se ubica en el eje de simetría a 0,125=0,12m bajo el centro de gravedad G. Dado que el metacentro se ubica bajo el centro de gravedad se concluye que la embarcación es inestable.
    1. No es estable pues el metacentro se encuentra bajo el centro de gravedad.
    2. Sí es estable pues el metacentro se encuentra sobre el centro de gravedad.
    1. Para que sea estable se debe cumplir que LD<ρf8ρ(ρfρ), donde ρf es la densidad del fluido.
    2. Para que sea estable se debe cumplir que LD>2sin(θ2).

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