Guía 07: Conservación de la masa

En esta guía comenzamos a trabajar con fluidos en movimiento. Deberás aplicar el principio de conservación de la masa en problemas de flujo de líquidos en tanques y tuberías.

El caudal o flujo volumétrico es la principal magnitud utilizada para expresar el principio de conservación de la masa en fluidos con densidad (casi) uniforme, como es el caso de los líquidos.
En la imagen, el Río Biobío a su paso entre Concepción, Hualpén y San Pedro de la Paz, a unos pocos kilómetros de su desembocadura. El río Biobío es el segundo más caudaloso de Chile con un caudal medio de unos $950\,\mt{m^3/s}$ al desembocar en el océano Pacífico.
Creditos: Germán Poo-Caamaño bajo licencia CC BY 2.0.

Índice

1. Caudal
2. Constantes, datos y factores de conversión
3. Respuestas

Caudal

1. El caudal medio de la sangre que circula en un tramo de un vaso sanguíneo que no presenta ramificaciones es de $1{,}00$ litro por minuto. Si la densidad media de la sangre es $1{,}06\,\mt{kg/l}$
   1. ¿Cuánto es el flujo másico que circula por este vaso sanguíneo?
   2. ¿Cuál es la velocidad media de la sangre en un tramo en el que vaso tiene un radio interior de $5{,}00\,\mt{mm}$?
   3. ¿Y si el radio interior del vaso es de $2{,}50\,\mt{mm}$?
2. El agua fluye en una manguera de jardín de diámetro interior $1{,}0\,\mt{in}$ a una velocidad de $4{,}0\,\mt{ft/s}$ ¿Con qué velocidad emergerá de un eyector de diámetro $0{,}20\,\mt{in}$?
3. Una manguera de $2{,}0\,\mt{cm}$ de diámetro por la que fluye agua a una velocidad de $3{,}0\,\mt{m/s}$ termina en un tubo cerrado que tiene 50 orificios pequeños de $2{,}0\,\mt{mm}$ de diámetro ¿Cuál es la velocidad de salida del agua en cada agujero?
4. Una llave tiene una sección transversal de área $2{,}0\,\mt{cm^2}$ y por ella circula agua con un caudal volumétrico de $12\,\mt{l/min}$. Si un chorro de agua cae verticalmente una altura de $45\,\mt{cm}$, determine la sección inferior del mismo.

   Indicación: El agua del chorro realiza caída libre, es decir, cae con aceleración $g$.

5. Una tubería de $5{,}00\,\mt{cm}$ de radio por la que fluye un líquido con velocidad $v=20{,}0\,\mt{cm/s}$, se divide en dos tuberías de radios $r'=2{,}00\,\mt{cm}$ y $r''=1{,}00\,\mt{cm}$ respectivamente como se muestra en la figura.

   

   Si la velocidad $v''$ es el doble de $v'$, calcule
   1. Las velocidades $v'$ y $v''$.
   2. Los caudales $\dot V'$ y $\dot V''$.
6. Una tubería de $4{,}00\,\mt{in}$ de radio por la que fluye un líquido con velocidad $v=2{,}00\,\mt{ft/s}$ se divide en tres tuberías de radio $r_1$, $r_2$ y $r_3$ por donde el fluido avanza con rapidez $v_1=0{,}400\,\mt{ft/s}$, $v_2=0{,}800\,\mt{ft/s}$ y $v_3=1{,}20\,\mt{ft/s}$, respectivamente. Si $r_2$ es el doble de $r_1$ y $r_3$ es cuatro veces $r_1$, obtenga
   1. Los radios $r_1$, $r_2$ y $r_3$.
   2. Los caudales $Q_1$, $Q_2$ y $Q_3$.
7. Un tanque cilíndrico de diámetro $D=2{,}50\,\mt{ft}$ y altura $H=4{,}00\,\mt{ft}$ está siendo llenado con agua mediante una cañería de diámetro $d=5{,}00\,\mt{in}$, como muestra la figura.

   

   En el tiempo $t=0{,}00\,\mt s$ el tanque se encuentra lleno hasta una altura $h=1{,}00\,\mt{ft}$. Calcule
   1. El caudal de agua que está entrando al tanque.
   2. El tiempo que tarda en llenarse el tanque.
   3. La velocidad a la que sube el nivel de agua en el tanque.
8. El diámetro del tanque de la figura es $D=1{,}20\,\mt m$ y está conectado a una tubería en su parte inferior de diámetro $d=1{,}20\,\mt{cm}$, por donde está saliendo agua con rapidez $v(t)=60{,}0/\sqrt{t+1{,}00}\,\mt{\frac{m}{s}}$, donde $t$ se mide en segundos.

   

   Si en el tiempo $t=0{,}00\,\mt s$ el tanque está lleno de agua hasta una altura $h_0=1{,}50\,\mt{m}$, determine
   1. El caudal que sale del tanque.
   2. La altura de agua en el tanque en un tiempo $t$ cualquiera.
   3. El tiempo que tarda en vaciarse.

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Constantes, datos y factores de conversión

• Aceleración de gravedad estándar
  $g=9{,}81\,\mt{m/s^2}= 32{,}2\,\mt{ft/s^2}$.
• Densidad del agua
  $\rho_{_{\ce{H2O}}}^{4{,}0^{\circ}\mt C}=1{,}00\times 10^3\,\mt{kg/m^3}=62{,}4\,\mt{lb_m/ft^3}$.
• $1\,\mt{ft}\equiv 30{,}48\,\mt{cm}\equiv 12\,\mt{in}$.
• $1\,\mt{lb_m}= 453{,}6\,\mt g$.
• $1\,\mt{lb_f}\equiv 1\,\mt{lb_m}\times g=4{,}448\,\mt N $.
• $1\,\mt{slug}\equiv 1\,\mt{\frac{lb_f}{ft/s^2}}= 32{,}2\,\mt{lb_m}$.
• $1\,\mt{bar}\equiv 10^5\,\mt{Pa}=2\,088{,}5\,\mt{lb/ft^2}=14{,}504\,\mt{psi}$.

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Respuestas

1. 1. $\dot m=1{,}06\,\mt{kg/min}=0{,}0177\,\mt{kg/s}$.
   2. $v=21{,}2\,\mt{cm/s}=0{,}212\,\mt{m/s}$.
   3. $v=84{,}9\,\mt{cm/s}=0{,}849\,\mt{m/s}$.
2. $v=100\,\mt{ft/s}=1{,}0\times 10^2\,\mt{ft/s}$.
3. $v=6{,}0\,\mt{m/s}$.
4. $A_\text{inf}=0{,}67\,\mt{cm^2}$.
5. 1. $v'=83{,}3\,\mt{cm/s}$, $v''=167\,\mt{cm/s}=1{,}67\times 10^2\,\mt{cm/s}$.
   2. $\dot V'=1{,}05\,\mt{l/s}$, $\dot V''=0{,}524\,\mt{l/s}=5{,}24\times 10^{-1}\,\mt{l/s}$.
6. 1. $r_1=1{,}18\,\mt{in}$, $r_2=2{,}37\,\mt{in}$, $r_3=4{,}74\,\mt{in}$.
   2. $Q_1=0{,}0122\,\mt{ft^3/s}=1{,}22\times10^{-2}\,\mt{ft^3/s}$, $Q_2=0{,}0980\,\mt{ft^3/s}=9{,}80\times10^{-2}\,\mt{ft^3/s}$, $Q_3=0{,}588\,\mt{ft^3/s}=5{,}88\times 10^{-1}\,\mt{ft^3/s}$.
7. 1. $\dot V=0{,}273\,\mt{ft^3/s}$.
   2. $\Delta t=54{,}0\,\mt{s}$.
   3. $\frac{dh}{dt}=0{,}0556\,\mt{ft/s}=0{,}667\,\mt{in/s}$.
8. 1. $\dot V(t)=\frac{6{,}79\times 10^{-3}}{\sqrt{t+1{,}00}}\,\mt{\frac{m^3}{s}}$.
   2. $h(t)=1{,}5-0{,}0120\Bigl(\sqrt{t+1{,}00}-1\Bigr)\,\mt{m}$.
   3. $\Delta t=15\,875\,\mt{s}=4{,}41\,\mt{h}$.