Guía 10: Inducción electromagnética

En esta guía revisaremos algunos problemas relacionados con el fenómeno de la inducción eletromagnética. Deberás encontrar la fem que aparece en distintas configuraciones de espiras de corriente así como la inductancia de algunas bobinas.

Michael Faraday descubrió en 1831 el fenómeno de la inducción electromagnética: un flujo magnético variable que atraviesa una espira conductora genera una corriente eléctrica en la misma, que se puede entender como la aparición de una fuerza electromotriz (fem). La inducción electromagnética es el principio científico tras el funcionamiento de la inmensa mayoría de las centrales de generación eléctrica a nivel mundial. En la imagen, un turbo alternador de corriente alterna (AC) de $15\,\mbf{MW}$ de potencia alimentado por una turbina de vapor. Fue construido en 1923 por la English Electric Co. Ltd y Hick, Hargreaves & Co. Ltd. en Bolton, Inglaterra. Permaneció en servicio en esta ciudad hasta 1984.
Creditos: Science Museum Group bajo licencia CC0 1.0.

Índice

1. Ley de Faraday
2. Inductancia
3. Respuestas

Ley de Faraday

1. En la figura, el flujo magnético a través de la espira aumenta gradualmente según \begin{equation*} \Phi_M=7{,}0\,t+6{,}0\,t^2 \end{equation*} donde $\Phi_M$ está en $\mbf{mWb}$ y $t$ en $\mbf{s}$.

   

   Determine
   1. La magnitud de la fem inducida.
   2. La dirección en que circula la corriente en la resistencia $R$.
   3. La corriente $i$ en el resistor si $R=20\,\mbf\Omega$.
   4. La potencia disipada por el resistor.
2. El campo magnético a través de una espira de alambre de una vuelta, de $16\,\mathbf{cm}$ de radio y $8{,}5\,\mathbf{\Omega}$ de resistencia, evoluciona en el tiempo como muestra la figura.

   

   Si el campo magnético está en ángulo recto con el plano de la espira, calcule la fem en la espira en función del tiempo.

   Sugerencia: Use una función definida por tramos.

3. Se tiene un alambre de cobre de $52{,}5\,\mathbf{cm}$ de largo y $1{,}1\,\mathbf{mm}$ de diámetro. Este tiene la forma de una espira circular y está situado en ángulo recto con un campo magnético uniforme que está aumentando con el tiempo a una velocidad constante de $9{,}82\,\mathbf{mT/s}$ ¿A qué velocidad se genera energía en la espira?

   Sugerencia: Determine la fem inducida y la corriente que circula por el alambre.

4. Se jala hacia la derecha una barra metálica de longitud $L=50{,}0\,\mbf{cm}$ con rapidez constante $v=8{,}00\,\mbf{m/s}$. Perpendicular al plano de la hoja existe un campo magnético uniforme de $B=900\,\mbf{mT}$. La barra corre sobre rieles metálicos paralelos que se encuentran separados por una distancia $d=40{,}0\,\mbf{cm}$, conectados a una resistencia $R=15{,}0\,\mbf{\Omega}$, como se muestra en la figura.

   

   1. Determine la magnitud de la fem inducida en el circuito.
   2. Determine el sentido de la corriente inducida en el circuito. Justifique.
   3. Calcule la corriente a través del resistor.
   4. Obtenga la potencia eléctrica disipada por el resistor.
5. En la figura la espira es un cuadrado de lado $b=16\,\mathbf{cm}$. El alambre recto largo se encuentra a una distancia $a=12\,\mbf{cm}$ de la parte baja de la espira.

   

   Si la corriente que circula por el alambre es dada por $i=4{,}5t^2-10t$, donde $i$ se mide en ampere y $t$ en segundos. Determine
   1. El campo magnético en cada punto en el interior de la espira.
   2. La fem en la espira cuadrada en $t=3{,}0\,\mathbf{s}$.
6. Un campo magnético uniforme es normal al plano de una espira circular de $10{,}4\,\mathbf{cm}$ de diámetro hecha de alambre de cobre Si el diámetro del alambre es $2{,}50\,\mathbf{mm}$ ¿A qué velocidad debe cambiar el campo magnético si se quiere una corriente inducida de $9{,}66\,\mathbf{A}$ en la espira?

   Indicación: La resistividad del cobre es $\rho_{_{\ce{Cu}}}=1{,}69\times 10^{-8}\,\mbf{\Omega\, m}$.

7. Una espira rectangular de $N$ vueltas de longitud $a$ y ancho $b$ gira con una frecuencia $f$ en una zona donde el campo magnético es uniforme y constante de valor $B$ como se muestra en la figura

   

   Demuestre que en la espira se genera una fem inducida dada por \begin{equation*} \mathscr E(t)=2\pi fNab B\sen\left(2\pi f t\right)=\mathscr E_0\sen\left(2\pi f t\right) \end{equation*} Éste es el principio del generador comercial de corriente alterna.

Inductancia

1. El solenoide de la figura tiene $N$ espiras, su largo es $l$, el radio de sus espiras $R$ y la corriente que circula por el conductor es $i(t)$.

   

   En términos de $N$, $l$, $R$, $i(t)$ y $\mu_0$. Determine
   1. La fem inducida en el solenoide.
   2. La (auto-)inductancia del solenoide.
   3. La magnitud de la inductancia si $N=100$, $l=10\,\mbf{cm}$, $R=0{,}50\,\mbf{cm}$ e $i(t) = 5{,}0\,\cos(310\,t)\,\mbf A$.
2. El toroide de $N$ espiras de la figura tiene radio interior $R$ y sección transversal cuadrada de lado $a$ .

   

   Determine
   1. El campo magnético $\vec B$ en el interior del toroide si circula una corriente $i(t)$
   2. El flujo magnético a través de cada espira del toroide.
   3. La (auto-)inductancia del toroide.
3. Considere dos solenoides de la misma longitud $l$, uno de radio $a$ y $N_a$ espiras y el otro de radio $b$ y $N_b$ espiras, con $b>a$. Si el solenoide más delgado se introduce en el interior del más ancho. Determine
   1. El campo magnético en el interior del solenoide más delgado si por el circula una corriente $i_a(t)$.
   2. La fem inducida en el solenoide más ancho.
   3. La inductancia mutua (la relación entre la fem inducida en el solenoide más ancho por la variación en la corriente en el solenoide más delgado).

Respuestas

Ley de Faraday

1. 1. $\mathscr E(t)=7{,}0+12{,}0\,t\,\mbf{mV}$
   2. Antihorario.
   3. $i(t)=0{,}35+0{,}60\,t\,\mbf{mA}$
   4. $P(t)=2{,}5\,+8{,}4\,t+7{,}2\,t^2\,\mbf{\mu W}$
2. La magnitud es \begin{equation*} \mathscr E(t)=\left\{ \begin{array}{r c r} 20{,}1\,\mbf{mV} &,&0\,\mbf s\leq t < 2\,\mbf s\\ 0{,}0\,\mbf{mV} &,&2\,\mbf s < t < 4\,\mbf s\\ -10{,}1\,\mbf{mV} &,&4\,\mbf s < t\leq 8\,\mbf s \end{array}\right. \end{equation*}
3. $\frac{dE}{dt}=P=4{,}97\,\mbf{\mu W}$
4. 1. $\mathscr E=2{,}88\,\mbf V$
   2. Sentido antihorario.
   3. $i=192\,\mbf{mA}$
   4. $P=553\,\mbf{mW}$
5. 1. Usando un sistema coordenado con eje $y$ vertical hacia arriba y eje $x$ horizontal hacia la derecha que coincide con la parte baja de la espira. $$\vec B(y)=\frac{0{,}90t^2-2{,}0t}{y-0{,}12}\,\hat k\,\mbf{\mu T}$$ con $y$ en metros.
   2. $\mathscr E(t)=9{,}14\,\mbf{\mu V}$
6. $\frac{dB}{dt}=1{,}28\,\mbf{\frac{T}{s}}$

Inductancia

1. 1. $\mathscr E=\frac{\mu_0 N^2}{l}\pi R^2\frac{di}{dt}$
   2. $L=\frac{\mu_0 N^2}{l}\pi R^2$
   3. $L=9{,}9\,\mbf{\mu H}$
2. 1. $\vec B(r)=\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{Ni}{r}\hat\theta$
   2. $\Phi_m=\frac{\mu_0}{2\pi}Nia\,\ln\left(1+\frac{a}{R}\right)$
   3. $L=\frac{\mu_0}{2\pi}N^2a\,\ln\left(1+\frac{a}{R}\right)$
3. 1. $\vec B(r,t)=\mu_0\frac{N_a}{l}i_a(t)\,\hat k$
   2. $\mathscr E(t)=\mu_0\frac{N_aN_b}{l}\pi a^2\frac{d i_a(t)}{dt}$
   3. $M=\mu_0\frac{N_aN_b}{l}\pi a^2$