Mecánica: Trabajo y Energía

En esta guía revisaremos aplicaciones del Teorema del trabajo y la energía mecánica.

La Blue Fire Megacoaster del Europa-Park en Rust, Alemania es una montaña rusa de acero en que el carro es capaz de alcanzar los $100\,\mbf{km/h}$ desde el reposo en tan solo $2{,}5\,\mbf s$. El movimiento de los carros de montaña rusa suele analizarse con consideraciones de energía.
Créditos: Fritz Spitzkohl bajo licencia CC BY-SA 3.0.

Índice

1. Trabajo y energía cinética
2. Trabajo y energía mecánica
3. Respuestas

Trabajo y energía cinética

1. Un cuerpo de $700\, \mbf{g}$ se desliza $120\, \mbf{cm}$ a lo largo de una mesa horizontal ¿Cuánto cambia la energía cinética del cuerpo si el coeficiente de fricción entre la mesa y el cuerpo es de $0{,}20$?
2. Una masa de $2{,}0\, \mbf{kg}$ cae $400\, \mbf{cm}$
   
   1. ¿Cuánto trabajo fue realizado sobre la masa por la fuerza de gravedad?
   Si se trata de una caída libre, es decir, si no hay otras fuerzas que actúen sobre la masa, determine
   1. El cambio de energía cinética.
   2. La rapidez de la masa tras caer $400\, \mbf{cm}$ si partió del reposo.
3. Una caja de masa $m=5{,}0\, \mbf{kg}$ se desliza hacia abajo por una rampa que mide $L=1{,}0\ \mbf{m}$ de largo y que está inclinada en un ángulo de $\alpha=30^\circ$ como se muestra en la figura. La caja parte desde el reposo en la parte alta y el coeficiente de roce entre la caja y la rampa es $\mu=0{,}30$.

   

   Determine la rapidez de la caja en la parte inferior de la rampa.
4. Se arrastra un contenedor de $500\, \mbf{kg}$, desde el reposo, a través de una rampa que esté inclinada $45^\circ$ sobre la horizontal y que tiene una longitud de $4{,}5\, \mbf m$. Para ello se utilizan dos motores. Uno de ellos ejerce una fuerza $\vec F_{1}=4\,600\, \mbf N$, a través de una cuerda que está elevada $15^\circ$ sobre la rampa. El otro motor ejerce una fuerza $\vec F_{2}=1\,000\, \mbf N$ y transmite su fuerza a través de una cuerda que está paralela a la rampa. Considere que el coeficiente de roce cinético entre la rampa y el contenedor es $0{,}33$. Al subir el contenedor, determine

   

   1. El trabajo de la fuerza $\vec F_1$.
   2. El trabajo de la fuerza $\vec F_2$.
   3. El trabajo de la fuerza de roce.
   4. El trabajo del peso.
   5. La velocidad con que llega a arriba.

Trabajo y energía mecánica

1. Una esquiadora de masa $m=70{,}0\, \mbf{kg}$ desciende desde la parte más alta de una pendiente sin fricción de $h=20{,}0\, \mbf m$ de altura. En la parte más baja encuentra una superficie horizontal donde el coeficiente de roce cinético entre los esquís y la nieve es $\mu_c=0{,}21$.

   

   Si la esquiadora parte del reposo, obtenga
   1. El cambio en la energía mecánica de la esquiadora hasta detenerse, si no se impulsa con los bastones.
   2. La distancia que recorre en la superficie horizontal.
   3. El trabajo realizado por la fuerza peso.
2. Una partícula de $150\, \mbf{g}$ de masa pasa por el punto $A$ donde $h_{_A}=3{,}0\, \mbf m$. La partícula se desliza por la pista curva de modo que al salir de la pista en el punto $B$, viaja directamente hacia arriba y alcanza la altura máxima en el punto $C$ ($h_{_C}=4{,}0\, \mbf m$) justo antes de empezar a caer.

   

   Haciendo caso omiso de la fricción y la resistencia del aire, encuentre
   1. La velocidad de la partícula en $A$.
   2. La energía mecánica de la partícula.
3. El bloque de masa $m=2{,}5\, \mbf{kg}$ parte del reposo a una altura $h=0{,}40\ \mbf m$ del suelo. Este bloque se encuentra amarrado mediante una cuerda ideal al bloque de masa $M=3{,}0\ \mbf{kg}$, que desliza sobre un plano inclinado en $\alpha=30^\circ$. El coeficiente de roce cinético entre $M$ y el plano inclinado es $0{,}20$.

   

   Mediante consideraciones de energía, determine
   1. Si el bloque $m$ sube o baja. Si el bloque sube, obtenga la velocidad tras recorrer la distancia $H=0{,}60\, \mbf m$. Si el bloque baja, determine su velocidad justo antes de tocar el suelo.
   2. El trabajo de la fuerza peso sobre cada bloque.
   3. El trabajo realizado por la fuerza de roce.
   4. El trabajo realizado por la cuerda sobre cada bloque.
4. Un carro de montaña rusa de masa $m=1{,}25\times 10^3\, \mbf{kg}$, pasa por el punto $A$ de la figura con rapidez $v_{_A}=1{,}0\, \mbf{m/s}$, luego desciende por el riel hasta que enfrenta un loop donde realiza una vuelta en $360^\circ$ con radio de curvatura $R=4{,}0\, \mbf m$. La base del loop se encuentra a una altura $h=2{,}0\, \mbf m$ sobre el suelo. Considere despreciable el roce entre el riel y el carro.

   

   1. Mediante la aplicación de la segunda ley de Newton, determine la mínima velocidad $\vec v_{_B}$ que el carro debe llevar en el punto $B$ de modo que no se despegue del riel.
   2. Considerando la situación de la pregunta anterior ¿Cuál debe ser la mínima altura $H$ del punto $A$ de modo que el carro no descarrile?
   3. Si el punto $A$ se encuentra a la altura $H$ de la pregunta anterior ¿Con qué velocidad llega el carro al piso, al finalizar su recorrido?
5. Se desea construir un rifle que dispare postones de masa $m=5{,}00\, \mbf g$ con velocidad $v=100\, \mbf{m/s}$. Para lo anterior se cuenta con un resorte que puede ser comprimido un máximo de $5{,}00\, \mbf{cm}$
   1. ¿Cuál debe ser la constante elástica del resorte?
   2. Si este rifle se dispara hacia arriba ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el postón si se desprecia la resistencia del aire?
6. Un bloque de masa $m=5{,}0\, \mbf{kg}$ comprime a un resorte de constante elástica $k$ desconocida, en $0{,}50\, \mbf m$. El bloque parte del reposo y sube por una pendiente sin roce hasta alcanzar la cima de la figura, cuyo radio de curvatura es $R=4{,}0\, \mbf m$ y se encuentra a una altura $H=12{,}0\, \mbf m$.

   

   Posteriormente, el bloque desciende hasta que llega a una superficie horizontal a una altura $h=4.0\ \mbf m$ que presenta roce con coeficiente de fricción cinético dado por $\mu_c=0.25$, donde recorre una distancia $d$ antes de detenerse.
   1. Utilizando la segunda ley de Newton, determine cuál es la máxima velocidad que puede tener el bloque en la cima de modo que no se despegue de la superficie.
   2. Obtenga la energía mecánica del bloque en la cima.
   3. Con la velocidad anterior determine la constante elástica del resorte.
   4. Considerando las preguntas anteriores ¿Cuál es la distancia $d$ que recorre el bloque sobre la superficie horizontal con roce tras superar la cima?

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Respuestas

Trabajo y energía cinética

1. $\Delta K=-1{,}6\, \mbf J$. El cuerpo disminuyó su energía cinética en $1{,}6\, \mbf J$.
2. 1. $W_{m\vec g}=78\, \mbf J$.
   2. $\Delta K=78\, \mbf J$.
   3. $v_f=8{,}8\, \mbf{m/s}$.
3. $v=2{,}2\, \mbf{m/s}$.
4. 1. $W_{\vec F_1}=20\, \mbf{kJ}$.
   2. $W_{\vec F_2}=4{,}5\, \mbf{kJ}$.
   3. $W_{\vec F_r}=-3{,}4\, \mbf{kJ}$.
   4. $W_{m\vec g}=-16\, \mbf{kJ}$.
   5. $\vec v=4{,}5\, \mbf{m/s}$ hacia arriba, paralela a la rampa.

Trabajo y energía mecánica

1. 1. $\Delta E_\text{M}=-13{,}7\, \mbf{kJ}$.
   2. $d=95\, \mbf m$.
   3. $W_{m\vec g}=13{,}7\, \mbf{kJ}$.
2. 1. $v_{_A}=4{,}4\, \mbf{m/s}$ hacia abajo, paralela a la pista.
   2. $E_\text{M}=4{,}4\, \mbf{J}$.
3. 1. El bloque $m$ baja. Al llegar al suelo la velocidad es $v_m=0{,}83\, \mbf{m/s}$ hacia abajo.
   2. $W_{m\vec g}=9{,}8\, \mbf{J}$, $W_{M\vec g}=-5{,}9\, \mbf{J}$
   3. $W_{\vec F_r}=-2{,}0\, \mbf{J}$
   4. $W_{\vec T\rightarrow m}=-8{,}9\, \mbf{J}$, $W_{\vec T\rightarrow M}=+8{,}9\, \mbf{J}$.
4. 1. $\vec v_{_B}=6{,}3\, \mbf{m/s}$ hacia la izquierda.
   2. $H_\text{min}=12\, \mbf m$.
   3. $\vec v_\text{suelo}=15\, \mbf{m/s}$ hacia la derecha.
5. 1. $k=20{,}0\, \mbf{kN/m}$.
   2. $h=510\, \mbf m$.
6. 1. $\vec v=6{,}3\, \mbf{m/s}$ horizontal, hacia la derecha.
   2. $E_\text{M}=0{,}69\, \mbf{kJ}$
   3. $k=5{,}5\, \mbf{kN/m}$.
   4. $d=40\, \mbf{m}$.