A continuación aplicarás el análisis dimensional de magnitudes físicas para encontrar la forma funcional que relaciona los adimensionales de un fenómeno físico. Deberás encontrar y relacionar las magnitudes adimensionales de las que puede depender un fenómeno físico.

Creditos: NASA imagen del Dominio Público..
Teorema Pi de Buckingham
- Arregle los siguientes grupos en parámetros adimensionales.
- Δp, ρ, v.
- ρ, g, v, F.
- μ, F, Δp, t.
- Considere las siguientes variables de mecánica de fluidos: el caudal Q, el diámetro D, la diferencia de altura ΔH, la densidad ρ, la viscosidad μ y la aceleración de gravedad g. Construya todos los parámetros adimensionales que se pueden formar, tomando Q, ρ y μ como variables repetitivas (variables base).
- Se sabe que en el flujo laminar unidimensional el esfuerzo cortante τ depende de la viscosidad μ y la rapidez de deformación angular dv/dy. Determine la forma de la ley de la viscosidad mediante razonamiento dimensional.
- La variación de presión Δp en líquidos estáticos depende del peso específico γ y de la diferencia de elevación Δz. Utilizando razonamiento dimensional, determine la forma de la ley hidrostática de la variación de presión.
- La fuerza de arrastre FD (comúnmente denominada sólo arrastre) sobre un proyectil de alta velocidad depende de la velocidad v del proyectil, de la densidad de fluido ρ, de la velocidad del sonido c, del diámetro D del proyectil y de la viscosidad μ. Desarrolle una expresión para el arrastre.
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El número de Mach (M) para el flujo de un gas ideal en un tubo, depende del índice adiabático γ (adimensional), la presión p, la densidad ρ y la velocidad v. Obténga la forma de la expresión del número de Mach mediante análisis dimensional.
Indicación: El número de Mach es una magnitud adimensional.
- Se sabe que el periodo τ de oscilación de un péndulo depende de su longitud L, de su masa m y de la aceleración de gravedad g. Usando análisis dimensional, ¿Qué tan cerca se puede llegar a la siguiente expresión analítica? τ=2π√Lg.
- En el flujo laminar de un fluido viscoso a través de un tubo capilar, la caída de presión a lo largo del capilar es función de la velocidad V y la viscosidad μ del fluido, así como del diámetro D y la longitud L del capilar. Determine los adimensionales involucrados. A partir del análisis dimensional ¿Qué tan cerca se puede llegar de la ecuación que rige la caída de presión? Δp=32(VμL)⋅(LD)2
- Cuando en el interior de una tubería se acelera un fluido a partir del reposo, inicialmente se observa flujo laminar. Después de un tiempo ttr el flujo transita a turbulento. Experimentalmente se ha observado que este tiempo de transición depende del diámetro D de la tubería y de la aceleración a, densidad ρ y la viscosidad μ del fluido. Determine una relación funcional para el tiempo de transición.
Respuestas
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- Π=Δpρv2.
- Π=Fg2ρv6.
- Π=μtΔp.
- Π1=ρQDμ, Π2=ρ5Q3gμ5, Π3=ρQΔHμ
- Π=τμdvdy=cte. de modo que τ=kμdvdy, donde k es una constante adimensional por determinar.
- Π=ΔpγΔz=cte. con lo cual Δp=kγΔz, donde k es una constante adimensional por determinar.
- Π1=ρFμ2, Π2=vc, Π3=ρvDμ, de modo que F=μ2ρf(vc,ρvDμ), donde f es una función de dos variables a determinar.
- Π1=M, Π2=γ, Π3=pρv2, de modo que M=f(γ,pρv2), donde f es una función de dos variables a determinar.
- Π=√gLτ=cte. de modo que τ=k√Lg. Por supuesto, k es una constante que el análisis dimensional no permite determinar.
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Eligiendo L,μ,V como las variables base, Π1=LD, Π2=LΔpμV con lo cual
Δp=μVLf(LD),
con f una función indeterminada.
Si se elige D,μ,V como las variables base se obtiene
Δp=μVDg(LD), con g≠f otra función.
Ambas opciones son correctas. En términos de la expresión dada en el enunciado f(x)=32x2 ,g(x)=32x. - ttr=ρD2μf(aρ2D3μ2), con f una función indeterminada.
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