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Guía 10: Análisis Dimensional

A continuación aplicarás el análisis dimensional de magnitudes físicas para encontrar la forma funcional que relaciona los adimensionales de un fenómeno físico. Deberás encontrar y relacionar las magnitudes adimensionales de las que puede depender un fenómeno físico.

Modelo a escala de un avión de combate F-18 en un túnel de agua.
Prueba del modelo a escala !/48 de un jet F-18 en el agua. Modelos pequeños a bajas velocidades de entrada en agua pueden alcanzar los mismos números de Reynolds que los aviones en el aire. Esto permite que se puedan hacer pruebas realistas y económicas del comportamiento del jet.
Creditos: NASA imagen del Dominio Público..

Teorema Pi de Buckingham

  1. Arregle los siguientes grupos en parámetros adimensionales.
    1. Δp, ρ, v.
    2. ρ, g, v, F.
    3. μ, F, Δp, t.
  2. Considere las siguientes variables de mecánica de fluidos: el caudal Q, el diámetro D, la diferencia de altura ΔH, la densidad ρ, la viscosidad μ y la aceleración de gravedad g. Construya todos los parámetros adimensionales que se pueden formar, tomando Q, ρ y μ como variables repetitivas (variables base).
  3. Se sabe que en el flujo laminar unidimensional el esfuerzo cortante τ depende de la viscosidad μ y la rapidez de deformación angular dv/dy. Determine la forma de la ley de la viscosidad mediante razonamiento dimensional.
  4. La variación de presión Δp en líquidos estáticos depende del peso específico γ y de la diferencia de elevación Δz. Utilizando razonamiento dimensional, determine la forma de la ley hidrostática de la variación de presión.
  5. La fuerza de arrastre FD (comúnmente denominada sólo arrastre) sobre un proyectil de alta velocidad depende de la velocidad v del proyectil, de la densidad de fluido ρ, de la velocidad del sonido c, del diámetro D del proyectil y de la viscosidad μ. Desarrolle una expresión para el arrastre.
  6. El número de Mach (M) para el flujo de un gas ideal en un tubo, depende del índice adiabático γ (adimensional), la presión p, la densidad ρ y la velocidad v. Obténga la forma de la expresión del número de Mach mediante análisis dimensional.

    Indicación: El número de Mach es una magnitud adimensional.

  7. Se sabe que el periodo τ de oscilación de un péndulo depende de su longitud L, de su masa m y de la aceleración de gravedad g. Usando análisis dimensional, ¿Qué tan cerca se puede llegar a la siguiente expresión analítica? τ=2πLg.
  8. En el flujo laminar de un fluido viscoso a través de un tubo capilar, la caída de presión a lo largo del capilar es función de la velocidad V y la viscosidad μ del fluido, así como del diámetro D y la longitud L del capilar. Determine los adimensionales involucrados. A partir del análisis dimensional ¿Qué tan cerca se puede llegar de la ecuación que rige la caída de presión? Δp=32(VμL)(LD)2
  9. Cuando en el interior de una tubería se acelera un fluido a partir del reposo, inicialmente se observa flujo laminar. Después de un tiempo ttr el flujo transita a turbulento. Experimentalmente se ha observado que este tiempo de transición depende del diámetro D de la tubería y de la aceleración a, densidad ρ y la viscosidad μ del fluido. Determine una relación funcional para el tiempo de transición.

Respuestas

    1. Π=Δpρv2.
    2. Π=Fg2ρv6.
    3. Π=μtΔp.
  1. Π1=ρQDμ, Π2=ρ5Q3gμ5, Π3=ρQΔHμ
  2. Π=τμdvdy=cte. de modo que τ=kμdvdy, donde k es una constante adimensional por determinar.
  3. Π=ΔpγΔz=cte. con lo cual Δp=kγΔz, donde k es una constante adimensional por determinar.
  4. Π1=ρFμ2, Π2=vc, Π3=ρvDμ, de modo que F=μ2ρf(vc,ρvDμ), donde f es una función de dos variables a determinar.
  5. Π1=M, Π2=γ, Π3=pρv2, de modo que M=f(γ,pρv2), donde f es una función de dos variables a determinar.
  6. Π=gLτ=cte. de modo que τ=kLg. Por supuesto, k es una constante que el análisis dimensional no permite determinar.
  7. Eligiendo L,μ,V como las variables base, Π1=LD, Π2=LΔpμV con lo cual Δp=μVLf(LD), con f una función indeterminada. Si se elige D,μ,V como las variables base se obtiene Δp=μVDg(LD), con gf otra función.
    Ambas opciones son correctas. En términos de la expresión dada en el enunciado f(x)=32x2 ,g(x)=32x.
  8. ttr=ρD2μf(aρ2D3μ2), con f una función indeterminada.

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