Guía 10: Análisis Dimensional

A continuación aplicarás el análisis dimensional de magnitudes físicas para encontrar la forma funcional que relaciona los adimensionales de un fenómeno físico. Deberás encontrar y relacionar las magnitudes adimensionales de las que puede depender un fenómeno físico.

Prueba del modelo a escala !/48 de un jet F-18 en el agua. Modelos pequeños a bajas velocidades de entrada en agua pueden alcanzar los mismos números de Reynolds que los aviones en el aire. Esto permite que se puedan hacer pruebas realistas y económicas del comportamiento del jet.
Creditos: NASA imagen del Dominio Público..

Índice

1. Teorema Pi de Buckingham
2. Respuestas

Teorema Pi de Buckingham

1. Arregle los siguientes grupos en parámetros adimensionales.
   1. $\Delta p$, $\rho$, $v$.
   2. $\rho$, $g$, $v$, $F$.
   3. $\mu$, $F$, $\Delta p$, $t$.
2. Considere las siguientes variables de mecánica de fluidos: el caudal $Q$, el diámetro $D$, la diferencia de altura $\Delta H$, la densidad $\rho$, la viscosidad $\mu$ y la aceleración de gravedad $g$. Construya todos los parámetros adimensionales que se pueden formar, tomando $Q$, $\rho$ y $\mu$ como variables repetitivas (variables base).
3. Se sabe que en el flujo laminar unidimensional el esfuerzo cortante $\tau$ depende de la viscosidad $\mu$ y la rapidez de deformación angular $dv/dy$. Determine la forma de la ley de la viscosidad mediante razonamiento dimensional.
4. La variación de presión $\Delta p$ en líquidos estáticos depende del peso específico $\gamma$ y de la diferencia de elevación $\Delta z$. Utilizando razonamiento dimensional, determine la forma de la ley hidrostática de la variación de presión.
5. La fuerza de arrastre $F_{_D}$ (comúnmente denominada sólo arrastre) sobre un proyectil de alta velocidad depende de la velocidad $v$ del proyectil, de la densidad de fluido $\rho$, de la velocidad del sonido $c$, del diámetro $D$ del proyectil y de la viscosidad $\mu$. Desarrolle una expresión para el arrastre.
6. El número de Mach ($\mathrm M$) para el flujo de un gas ideal en un tubo, depende del índice adiabático $\gamma$ (adimensional), la presión $p$, la densidad $\rho$ y la velocidad $v$. Obténga la forma de la expresión del número de Mach mediante análisis dimensional.

   Indicación: El número de Mach es una magnitud adimensional.

7. Se sabe que el periodo $\tau$ de oscilación de un péndulo depende de su longitud $L$, de su masa $m$ y de la aceleración de gravedad $g$. Usando análisis dimensional, ¿Qué tan cerca se puede llegar a la siguiente expresión analítica? \begin{equation*} \tau=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}. \end{equation*}
8. En el flujo laminar de un fluido viscoso a través de un tubo capilar, la caída de presión a lo largo del capilar es función de la velocidad $V$ y la viscosidad $\mu$ del fluido, así como del diámetro $D$ y la longitud $L$ del capilar. Determine los adimensionales involucrados. A partir del análisis dimensional ¿Qué tan cerca se puede llegar de la ecuación que rige la caída de presión? \begin{equation*} \Delta p = 32 \left(\frac{V\mu}{L}\right)\cdot\left(\frac{L}{D}\right)^2 \end{equation*}
9. Cuando en el interior de una tubería se acelera un fluido a partir del reposo, inicialmente se observa flujo laminar. Después de un tiempo $t_\text{tr}$ el flujo transita a turbulento. Experimentalmente se ha observado que este tiempo de transición depende del diámetro $D$ de la tubería y de la aceleración $a$, densidad $\rho$ y la viscosidad $\mu$ del fluido. Determine una relación funcional para el tiempo de transición.

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Respuestas

1. 1. $\Pi=\dfrac{\Delta p}{\rho v^2}$.
   2. $\Pi=\dfrac{Fg^2}{\rho v^6}$.
   3. $\Pi=\dfrac{\mu}{t\Delta p}$.
2. $\Pi_1=\dfrac{\rho QD}{\mu}$, $\Pi_2=\dfrac{\rho^5Q^3g}{\mu^5}$, $\Pi_3=\dfrac{\rho Q\Delta H}{\mu}$
3. $\Pi=\dfrac{\tau}{\mu\frac{dv}{dy}}=\text{cte.}$ de modo que $$\tau=k\mu\dfrac{dv}{dy},$$ donde $k$ es una constante adimensional por determinar.
4. $\Pi=\dfrac{\Delta p}{\gamma\Delta z}=\text{cte.}$ con lo cual $$\Delta p=k\gamma\Delta z,$$ donde $k$ es una constante adimensional por determinar.
5. $\Pi_1=\dfrac{\rho F}{\mu^2}$, $\Pi_2=\dfrac{v}{c}$, $\Pi_3=\dfrac{\rho vD}{\mu}$, de modo que $$F=\dfrac{\mu^2}{\rho}f\left(\dfrac{v}{c},\dfrac{\rho vD}{\mu}\right),$$ donde $f$ es una función de dos variables a determinar.
6. $\Pi_1=\mathrm M$, $\Pi_2=\gamma$, $\Pi_3=\dfrac{p}{\rho v^2}$, de modo que $$\mathrm M=f\left(\gamma,\dfrac{p}{\rho v^2}\right),$$ donde $f$ es una función de dos variables a determinar.
7. $\Pi=\sqrt{\dfrac{g}{L}}\tau=\text{cte.}$ de modo que $$\tau=k\sqrt{\frac{L}{g}}.$$ Por supuesto, $k$ es una constante que el análisis dimensional no permite determinar.
8. Eligiendo $L,\mu,V$ como las variables base, $\Pi_1=\dfrac{L}{D}$, $\Pi_2=\dfrac{L\Delta p}{\mu V}$ con lo cual $$\Delta p=\frac{\mu V}{L}f\left(\frac{L}{D}\right),$$ con $f$ una función indeterminada. Si se elige $D,\mu,V$ como las variables base se obtiene $$\Delta p=\frac{\mu V}{D}\,g\left(\frac{L}{D}\right),$$ con $g\neq f$ otra función.
   Ambas opciones son correctas. En términos de la expresión dada en el enunciado $$f(x)=32x^2\ ,\quad g(x)=32 x.$$
9. $$t_\text{tr}=\frac{\rho D^2}{\mu}\,f\left(\frac{a\rho^2D^3}{\mu^2}\right),$$ con $f$ una función indeterminada.