Mecánica: Vectores

Índice

1. Coordenadas rectangulares y coordenadas polares
2. Operatoria Vectorial
3. Respuestas

Coordenadas rectangulares y coordenadas polares

1. Considere los vectores definidos a continuación. Obtenga sus componentes rectangulares.
   1. $\vec a$ con $a=10$ y $\measuredangle \vec x \vec a=50^\circ$.
   2. $\vec v$ con $v=5{,}0$ y $\measuredangle \vec x \vec v=127^\circ$.
   3. $\vec T$ con $T=12$ y $\measuredangle \vec x \vec T=-75^\circ$.
   4. $\vec N$ con $N=0{,}80$ y $\measuredangle \vec y \vec N=30^\circ$.
   5. $\vec L$ con $L=1{,}70$ y $\measuredangle \vec y \vec L=-155^\circ$.
2. Obtenga las componentes rectangulares de los siguientes vectores
   1. $\vec A$ con $A=11$ y $\theta=65^\circ$.

      

   2. $\vec B$ con $B=4{,}5$ y $\theta=25^\circ$.

      

   3. $\vec g$ con $g=9{,}8\ \mbf{m/s^2}$ y $\theta=30^\circ$.

      

   4. $\vec L$ con $L=101\ \mbf{kg\,m^2/s}$ y $\theta=45^\circ$.

      

   5. $\vec p$ con $p=0{,}75\ \mbf{kg\,m/s}$, $\theta=55^\circ$ y $\phi=20^\circ$.

      

3. Transforme los siguientes vectores cartesianos a su forma polar
   1. $\vec v=(11\,\hat\imath+12\,\hat\jmath)\ \mbf{m/s}$
   2. $\vec a=(-7{,}3\,\hat\imath-6{,}5\,\hat\jmath)\ \mbf{m/s^2}$
   3. $\vec F=(1{,}3\times 10^3\, \hat\imath-0{,}90 \times 10^3\, \hat\jmath)\ \mbf{N}$
   4. $\vec L=(-0{,}500\,\hat\imath+0{,}866\,\hat\jmath)\ \mbf{kg\, m^2/s}$
   5. $\vec \theta=-8{,}5 \times 10^{-70}\, \hat\imath - 1{,}2 \times 10^{-69}\, \hat\jmath$
   6. $\vec \tau=(-4{,}0\ ,\ -8{,}0)\ \mbf{N\cdot m}$
   7. $\vec V=(2{,}00\ ,\ 321)\ \mbf{m/s}$
   8. $\vec T=(\frac{4}{5}\ ,\ -\frac{3}{5})\ \mbf{N}$
   9. $\vec \mu=(-\frac{5}{13}\ ,\ \frac{12}{13})\ \mbf{J/T}$
   10. $\vec \nu=(12\ ,\ -1{,}0)\ \mbf{Hz}$

Operatoria Vectorial

1. Sean $\vec A=-5\hat\imath+7\hat\jmath-\hat k$, $\vec B=2\hat\imath+4\hat\jmath-3 \hat k$ y $\vec C=-\hat\imath+\hat\jmath$ tres vectores en el espacio. Calcule las siguientes cantidades e indique si se trata de una magnitud escalar o vectorial.
   1. $-5\vec C$
   2. $\frac{\vec A-\vec C}{5}$
   3. $-\vec C-7\vec B$
   4. $\vec A\cdot\vec B$
   5. $\left(-\vec A\right)\cdot\left(2\vec C\right)$
   6. $\vec A\times\left(2\vec B-3\vec C\right)$
2. Sean $\vec A=-3\hat\imath+\hat\jmath$, $\vec B=5\hat\imath-2\hat\jmath$ y $\vec C=\hat\imath+\hat\jmath$ vectores en el plano. Calcule el ángulo entre los siguientes vectores. Apoye su respuesta con un sistema coordenado apropiado.
   1. $\vec A$ y $\vec B$
   2. $-2\vec B$ y $-3\vec C$
3. Sean $\vec \xi=\hat\imath+2\hat\jmath$ y $\vec \chi=2\hat\imath-2\hat\jmath$ vectores en el plano. Calcule las siguientes cantidades.
   1. $\vec \xi \times \vec \chi$
      
   2. El área del paralelógramo formado por los vectores $\frac{1}{2}\vec\xi$ y $\frac{2}{7}\vec\chi$.

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Respuestas

Coordenadas rectangulares y coordenadas polares

1. 1. $\vec a=6{,}4\,\hat\imath+7{,}7\,\hat\jmath$.
   2. $\vec v=-3{,}0\,\hat\imath+4{,}0\,\hat\jmath$.
   3. $\vec T=3{,}1\,\hat\imath-12\,\hat\jmath$.
   4. $\vec N=-0{,}40\,\hat\imath+0{,}69\,\hat\jmath$.
   5. $\vec L=0{,}718\,\hat\imath-1{,}54\,\hat\jmath$.
2. 1. $\vec A=-10\,\hat\imath-4{,}6\,\hat\jmath$.
   2. $\vec B=-4{,}1\,\hat\imath+1{,}9\,\hat\jmath$.
   3. $\vec g=(-4{,}9\,\hat\imath-8{,}5\,\hat\jmath)\,\mbf{m/s^2}$.
   4. $\vec L=(-71{,}4\,\hat\imath-71{,}4\,\hat\jmath)\,\mbf{kg\,m^2/s}$.
   5. $\vec p=(0{,}19\,\hat\imath-0{,}72\,\hat\jmath)\,\mbf{kg\,m/s}$.
3. 1. $\vec v=\left(16\ \mbf{m/s}\ \mb ,\ 47^\circ\right)$.
   2. $\vec a=\left(9{,}8\ \mbf{m/s^2}\ \mb ,\ 222^\circ\right)$.
   3. $\vec F=\left(1{,}6\times 10^3\ \mbf{N}\ \mb ,\ 325^\circ\right)$.
   4. $\vec L=\left(1{,}00\ \mbf{kg\,m^2/s}\ \mb ,\ 120^\circ\right)$.
   5. $\vec \theta=\left(1{,}5\times 10^{-69}\ \mb ,\ 235^\circ\right)$.
   6. $\vec \tau=\left(8{,}9\ \mbf{N\cdot m}\ \mb ,\ 243^\circ\right)$.
   7. $\vec V=\left(321\ \mbf{m/s}\ \mb ,\ 89{,}6^\circ\right)$.
   8. $\vec T=\left(1\ \mbf{N}\ \mb ,\ 323^\circ\right)$.
   9. $\vec \mu=\left(1\ \mbf{J/T}\ \mb ,\ 113^\circ\right)$.
   10. $\vec \nu=\left(12\ \mbf{Hz} ,\ 355^\circ\right)$.

Operatoria Vectorial

1. 1. $5\,\hat\imath-5\,\hat\jmath$. Vectorial.
   2. $-\frac{4}{5}\,\hat\imath+\frac{6}{5}\,\hat\jmath-\frac{1}{5}\hat k$. Vectorial.
   3. $-13\,\hat\imath-29\,\hat\jmath+21\,\hat k$. Vectorial.
   4. $21$. Escalar.
   5. $-24$. Escalar.
   6. $-47\,\hat\imath-37\,\hat\jmath-24\,\hat k$. Vectorial.
2. 1. $177^\circ$.
   2. $67^\circ$.
3. 1. $\vec \xi\times\vec \chi=-6\,\hat k$.
   2. $A=\frac{6}{7}$.