Termodinámica: Sistemas PVT y líquidos

Índice

1. Sistemas PVT
2. Líquidos
3. Constantes, datos y factores de conversión
4. Respuestas

Sistemas PVT

1. Determine el coeficiente de dilatación volumétrica isobárica y el coeficiente de compresibilidad isotérmica de sustancias con las siguientes ecuaciones de estado, donde $a$, $b$ y $c$ son constantes que caracterizan a cada sustancia y $R$ es la constante de los gases. Exprese sus resultados solo en términos de la temperatura $T$ y el volumen molar $\bar v$
   1. Gas ideal.
      $p\bar v=RT$.
   2. Van der Waals.
      $\left(p+\frac{a}{{\bar v}^2}\right)(\bar v-b)=RT$.
   3. Berthelot.
      $\left(p+\frac{a}{T{\bar v}^2}\right)(\bar v-b)=RT$.
2. El coeficiente de dilatación cúbico isobárico y el coeficiente de compresibilidad isotérmico de cierta sustancia son dados por: \[\gamma=4\frac{aT^3}{v}\quad,\quad \kappa_{_T}=\frac{b}{v}.\] Si $a$ y $b$ son constantes, determine la ecuación de estado de las variables $pvT$ de la sustancia.
3. Las medidas del coeficiente de expansión volumétrica y de compresibilidad isotérmica de cierta sustancia son dadas por \[\gamma(T,p)=\frac{R}{p}+\frac{a}{T^2}\quad,\quad \kappa_{_T}(T,p)=-Tf(p)\] donde $R$ y $a$ son constantes, $T$ es la temperatura, $p$ es la presión y $f(p)$ es una función solo de la presión. Determine
   1. Las unidades de medida en el sistema internacional de la función $f(p)$ y de las constantes $R$ y $a$.
   2. La forma explícita de la función $f(p)$.
   3. La ecuación de estado de la sustancia.

   Indicación: Para esto use el teorema de Schwartz:
   Sea $f(x,y)$ una función real de clase $\m C^2$, es decir, sus derivadas parciales de hasta segundo orden son continuas en un abierto de $S\subset\mathbb{R}^2$. Entonces, en $S$ se satisface: \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\ . \]

4. Exprese el coeficiente de dilatación cúbica isobárico $\gamma$ y el coeficiente de compresibilidad isotérmico $\kappa_{_T}$ en términos de la densidad $\rho$ y sus derivadas parciales.

Líquidos

1. Una masa de mercurio ($\ce{Hg}$) a $40{,}0^\circ\mt F$ y $1{,}0\ \mt{atm}$ se calienta isocóricamente hasta $50{,}0^\circ\mt{F}$. Determine la presión final.

   Indicación: Proceso isocórico o isovolumétrico es aquél que ocurre a volumen constante.

2. Considere agua a $30^\circ\mt C$. Determine cuánto se debe aumentar la presión isotérmicamente, sobre el agua de modo que su densidad aumente un $1{,}0\,\%$.
3. Un tanque de acero inoxidable de $4{,}00 \times 10^3\ \mt{gal}$ de capacidad se llena completamente con benceno $\ce{C6H6}$ a una temperatura de $77{,}0^\circ\mt F$ y una presión de $1{,}00\ \mt{atm}$. Si el tanque es capaz de resistir una presión máxima de $150\ \mt{atm}$. Determine
   1. La máxima temperatura que puede alcanzar el benceno, despreciando la dilatación térmica del acero.
   2. El cambio en la capacidad del tanque a la temperatura máxima que resiste, debido a la dilatación del acero. Con este resultado ¿Es válido despreciar la dilatación del acero?

   Indicación: El galón --US. gallon-- ($\mt{gal}$) es una unidad de capacidad del sistema USCS. Equivale a $231\ \mt{in^3}\approx 3{,}785\ \mt l$.

4. Una barra de acero mide $3{,}000\,\mt{cm}$ de diámetro a $25{,}0^\circ\mt C$. Un anillo de latón tiene un diámetro interior de $2{,}992\,\mt{cm}$ a $25{,}0^\circ\mt C$ ¿A qué temperatura es necesario calentar ambos materiales para que la barra pueda entrar en el agujero del anillo?

   Indicación: El latón es una aleación metálica mayoritariamente de cobre y cinc ($\ce{Zn}$).

5. Determine la relación entre el coeficiente de dilatación lineal medido en $\mt{1/^\circ C}$ y el medido en $\mt{1/^\circ F}$

Indicación: Determine la diferencia medida en grados Fahrenheit, entre dos temperaturas separadas por un grado Celsius.

6. Otros sistemas sencillos de estudiar, al igual que los líquidos, son las barras sólidas sometidas a tensión normal o esfuerzo normal $\sigma$, que sufren dilatación térmica. El esfuerzo normal se define como la fuerza de tracción (que intenta alargar la barra) divida entre el área de la sección transversal de la barra. La ecuación de estado puede ser aproximada linealmente como \[\frac{\Delta L}{L}=\frac{1}{Y}\Delta \sigma+\alpha\Delta T,\] donde $L$ es la longitud de la barra, $Y$ es el módulo de Young, $\sigma$ es el esfuerzo normal, $\alpha$ el coeficiente de dilatación lineal y $T$ la temperatura de la barra.
   Una barra de bronce de largo $L=2{,}00\ \mt{m}$ y de diámetro $1{,}20\ \mt{cm}$ es usada para colgar la cortina de baño de una casa. Considere que la barra fue empotrada entre dos paredes de concreto, que podemos considerar rígidas, cuando la temperatura era de $7{,}0^\circ\mt C$ de modo que la barra no estaba sujeta a tensión normal. Si la temperatura en la sala de baño puede llegar en verano a $45{,}0^\circ\mt C$. Determine
   1. La tensión normal en la barra en verano.
   2. La fuerza que ejerce la barra sobre las paredes.

   Indicación: Si la fuerza aplicada comprime la barra, el esfuerzo normal se considera negativo.

   Indicación 2: El bronce es toda aleación (mezcla) metálica de cobre y estaño en la que el primero constituye su base y el segundo aparece en una proporción del 3\% al 20\% en masa.

7. El fémur, hueso del muslo, de un hombre de $5'7''$ ($5\ \mt{ft}$ con $7\ \mt{in}$) de altura puede ser modelado como un tubo de largo $L=18\ \mt{in}$ cuyo diámetro externo es $d_e=1{,}15\ \mt{in}$ y cuyo diámetro interno es $d_i=0{,}40\ \mt{in}$. Considere que el hombre pesa $m=165\ \mt{lb}$. Determine
   1. El área de la sección transversal de este modelo de fémur.
   2. La tensión normal $\sigma$ que debe soportar cada fémur del hombre (uno en cada pierna) cuando está erguido.
   3. La {deformación unitaria} $\epsilon:=\Delta L/L$ del fémur al ser retirado del cuerpo humano, despreciando variaciones de temperatura.

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Constantes, datos y factores de conversión

• Aceleración de gravedad estándar
  $g=9{,}81\,\mt{m/s^2}= 32{,}2\,\mt{ft/s^2}$.
• Presión atmosférica estándar
  $p_\text{atm}\equiv 1\,\mt{atm}\equiv 101\,325\,\mt{Pa}=2\,116{,}2\,\mt{lb/ft^2}.$
• Temperatura del cero absoluto
  $T_{0\,\mt K}\equiv 0\ \mt K\equiv -273{,}15^\circ\mt{C}.$
• Coeficiente de dilatación lineal del acero
  $ \alpha_{_\text{acero}}=1{,}73\times 10^{-5}\ \mt{1/^\circ C}.$
• Coeficiente de dilatación lineal del bronce
  $\alpha_{_\text{bronce}}=1{,}75\times 10^{-5}\ \mt{1/^\circ\mt C}.$
• Coeficiente de dilatación volumétrica del mercurio $\ce{Hg}$
  $\gamma_{_{\ce{Hg}}}=1{,}008\times 10^{-4}\ \mt{1/^\circ F}.$
• Coeficiente de dilatación volumétrica del benceno $\ce{C6H6}$
  $\gamma_{_{\ce{C6H6}}}=1{,}22\times 10^{-3}\ \mt{1/^\circ C}.$
• Coeficiente de compresibilidad del mercurio $\ce{Hg}$
  $\kappa_{_T}^{_{\ce{Hg}}}=4{,}02\times 10^{-2}\ \mt{1/GPa}=4{,}02\times 10^{-11}\ \mt{1/Pa}.$
• Coeficiente de compresibilidad del agua $\ce{H2O}$
  $\kappa_{_T}^{_{\ce{H2O}}}=4{,}475\times 10^{-4}\ \mt{1/MPa}.$
• Coeficiente de compresibilidad del benceno $\ce{C6H6}$
  $\kappa_{_T}^{_{\ce{C6H6}}}=4{,}63\times 10^{-8}\ \mt{\frac{1}{lb/ft^2}}.$
• Módulo de Young del bronce
  $Y_{_\text{bronce}}=120\ \mt{GPa}.$
• Módulo de Young del hueso fémur
  $Y_{_\text{fémur}}=2{,}17\times 10^6\ \mt{lb_f/in^2}.$
• $1\,\mt{ft}\equiv 30{,}48\,\mt{cm}\equiv 12\,\mt{in}$.
• $1\,\mt{lb_m}= 453{,}6\,\mt g$.
• $1\,\mt{lb_f}\equiv 1\,\mt{lb_m}\times g=4{,}448\,\mt N $.
• $1\,\mt{slug}\equiv 1\,\mt{\frac{lb_f}{ft/s^2}}= 32{,}2\,\mt{lb_m}$.

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Respuestas

Sistemas PVT

1. 1. $\gamma=\frac{1}{T}$, $\kappa_{_T}=\frac{\bar v}{RT}$.
   2. $\gamma=\frac{R{\bar v}^2(\bar v-b)}{RT{\bar v}^3-2a(\bar v-b)^2}$, $\kappa_{_T}=\frac{{\bar v}^2(\bar v-b)^2}{RT{\bar v}^3-2a(\bar v-b)^2}$.
   3. $\gamma=\frac{\bigr(RT^2{\bar v}^2+a(\bar v-b)\bigr)(\bar v-b)}{RT^3{\bar v}^3-2aT(\bar v-b)^2}$, $\kappa_{_T}=\frac{T{\bar v}^2(\bar v-b)^2}{RT^2{\bar v}^3-2a(\bar v-b)^2}$.
2. $v(T,p)=aT^4-bp+v_{_0}$ , donde $v_{_0}$ es una constante con unidades de volumen específico.
3. 1. $f(p)$ se mide en $\mt{\frac{1}{Pa\, K}}$.
      $R$ se mide en $\mt{\frac{Pa}{K}}$.
      $a$ se mide en $\mt K$.
   2. $f(p)=-\frac{R}{p^2}$.
   3. $V(T,p)=V_0\exp\left(\frac{RT}{p}-\frac{a}{T}\right)$ , donde $V_0$ es una constante con unidades de volumen.
4. $\gamma=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho}{\partial T}$, $\kappa_{_T}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho}{\partial p}$.

Líquidos

1. $p_f=25{,}2\ \mt{MPa}=248\ \mt{atm}$.
2. $\Delta p=22{,}35\ \mt{MPa}$.
3. 1. $T_\text{max}=98{,}5^\circ\mt F=37{,}0^\circ\mt{C}$.
   2. $\Delta V=2{,}48\ \mt{gal}$ completamente despreciable frente a los $4\,000\ \mt{gal}$ del estanque y los $58{,}4\ \mt{gal}$ que se dilata el benceno.
4. 1. $\sigma=-79{,}8\ \mt{MPa}=-7{,}98\times 10^7\ \mt{Pa}$.
   2. $F=9{,}03\ \mt{kN}=9{,}03\times 10^3\ \mt N$.
5. 1. $A=0{,}913\ \mt{in^2}=6{,}34\times 10^{-3}\ \mt{ft^2}$.
   2. $\sigma=-90{,}4\ \mt{lb_f/in^2}=-13{,}0\times 10^3\ \mt{lb_f/ft^2} $.
   3. $\epsilon=4{,}17\times 10^{-5}$, ocurre una dilatación del fémur menor al $0{,}005\,\%$.