Mecánica: Movimiento Parabólico y Movimiento Circunferencial

Índice

1. Movimiento Parabólico
2. Movimiento Circunferencial
3. Respuestas

Movimiento Parabólico

1. Un proyectil se lanza con una velocidad de $200\ \mbf{m/s}$ formando un ángulo de $30{,}0^\circ$ con la horizontal. Calcule a los $8{,}0\ \mbf s$ de su lanzamiento:
   1. El vector velocidad y el ángulo que forma ésta con el eje vertical.
   2. El desplazamiento total.
2. En un duelo del lejano Oeste un pistolero dispara horizontalmente una bala con velocidad de $200\ \mbf{m/s}$ desde una altura de $1{,}25\ \mbf{m}$. Calcule la distancia mínima entre los adversarios, para que la presunta víctima no sea alcanzada.

   Indicación: La bala realiza movimiento parabólico, de modo que en algún momento choca con el suelo y así el adversario no es alcanzado.

3. Desde una altura de $10\ \mbf m$ sobre el suelo, se lanza horizontalmente un objeto con velocidad de $20\ \mbf{m/s}$. Determinar:
   1. La distancia horizontal a la que toca el suelo, medida desde el punto de lanzamiento.
   2. El ángulo que forma la trayectoria con el suelo en el momento del impacto.
4. Un avión que vuela paralelo al suelo, a $800\ \mbf m$ de altura deja caer una bomba $1\,000\ \mbf m$ antes de sobrevolar el objetivo y hacer blanco en él ¿Qué velocidad lleva el avión?
5. El famoso cañón de París, usado por los alemanes en el bombardeo de la ciudad luz durante la Primera Guerra Mundial, tenía un alcance máximo de $130\,\mbf{km}$.

   

   Despreciando la resistencia del aire, determine:
   1. La velocidad del proyectil al salir por la boca del cañón.
   2. La altura máxima que alcanzaría el proyectil si se disparase en tiro vertical.

   Indicación 1: El alcance máximo es la distancia horizontal máxima que alcanza un proyectil al salir del suelo y volver a éste. Esta situación ocurre cuando el ángulo de lanzamiento es de $45{,}0^\circ$.

   Indicación 2: Es común confundir este cañón con el cañón Berta.

6. Un avión en vuelo horizontal a la altura de $300\ \mbf m$ y velocidad $72{,}0\ \mbf{m/s}$ desea hacer blanco sobre un barco que se desplaza a $24{,}0\ \mbf{m/s}$ en la misma dirección y sentido que el avión.

   

   1. Determinar a que distancia, desde la vertical del avión, debe soltar} la bomba para lograr el impacto.
   2. ¿Cuál sería esa distancia si el barco se moviera en sentido contrario, hacia el avión?
7. Un hombre está trabajando en el tejado de una casa que forma un ángulo de $30^\circ$ con la horizontal. Se le cae un martillo, que resbala hasta llegar al extremo del tejado donde cae libertad con velocidad de $10\ \mbf{m/s}$. Si la altura de la casa desde donde cae el martillo es de $9{,}0\ \mbf{m}$. Calcule:
   1. La distancia de la fachada a la que caerá el martillo.
   2. El tiempo que tarda en llegar al suelo.
   3. La velocidad de impacto con el suelo.
8. Una jugadora de baloncesto situada a $8{,}00\ \mbf m$ de la canasta salta y lanza el balón desde una altura de $2{,}25\ \mbf m$ con un ángulo de $45{,}0^\circ$ sobre la horizontal.
   1. ¿Con qué velocidad debe realizar el lanzamiento para encestar, si el aro está situado a $3{,}05\ \mbf m$ de altura?
   2. ¿Cuánto tiempo tarda el balón en llegar a la canasta?
9. Una lanzadora de jabalina realiza un lanzamiento oblicuo de $50{,}0^\circ$ respecto a la horizontal, a una altura, en el momento de soltar la jabalina, de $1{,}85\ \mbf m$. Si el tiempo que tarda la jabalina en clavarse en el suelo es de $3{,}50\ \mbf s$, encuentre:
   1. La velocidad con la que se realizó el lanzamiento.
   2. El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima.
   3. La altura máxima que alcanza la jabalina.

Movimiento Circunferencial

1. Calcule el periodo de rotación de la Tierra sobre si misma expresado en segundos, su velocidad angular y la velocidad de un punto situado en el ecuador si el radio de la Tierra es de $6\,370\ \mbf{km}$.
2. Una rueda de $0{,}50\ \mbf{m}$ de diámetro gira a razón de $30\ \mbf{rpm}$, determine
   1. Su velocidad angular.
   2. El periodo de giro.
   3. La frecuencia de giro.
   4. La velocidad del borde de la rueda.

Indicación: La sigla $\mbf{rpm}$ (revolutions per minute) es ampliamente utilizada en ingeniería, significa «revoluciones (vueltas) por minuto».

3. Un volante de $2{,}0\,\mbf{m}$ de diámetro inicia su movimiento con velocidad inicial de $30\ \mbf{m/s}$. El volante se detiene al cabo de $1{,}0\,\mbf{min}$. Considerando movimiento con aceleración angular constante, determine
   1. La velocidad angular inicial.
   2. La aceleración angular.
   3. La cantidad de vueltas que realiza el volante hasta detenerse.
4. Un punto en una tornamesa en rotación, ubicado a $20{,}0\ \mbf{cm}$ del centro, acelera desde el reposo hasta $0{,}700\ \mbf{m/s}$ en $1{,}75\ \mbf{s}$
   1. ¿Cuál es la velocidad angular final?
   2. Obtenga la aceleración angular.
   3. Calcule la aceleración tangencial.
   4. Obtenga la aceleración centrípeta final.
5. Un automóvil frena mientras recorre una curva, reduciendo su rapidez desde $108\ \mbf{km/h}$ a $90{,}0\ \mbf{km/h}$ en los $15\ \mbf{s}$ que tarda en recorrerla. Si el radio de la curva es $150\ \mbf{m}$, calcule
   1. El cambio de rapidez angular en los $15\ \mbf s$.
   2. La aceleración tangencial del automóvil.
   3. La distancia que recorrió en los $15\ \mbf s$.
   4. La rapidez angular y la aceleración centrípeta que experimenta el vehículo a los $10\ \mbf s$ de haber entrado a la curva.

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Respuestas

Movimiento Parabólico

1. 1. $\vec v=(173\,\hat\imath+22\,\hat\jmath)\,\mbf{m/s}$, $\measuredangle y\vec v=-97^\circ$.
   2. $\Delta\vec r=(1{,}4\,\hat\imath+0{,}5\,\hat\jmath)\,\mbf{km}$.
2. $d_\text{min}=101\ \mbf m$.
3. 1. $d_\text{horizontal}=29\ \mbf m$.
   2. $\measuredangle x\vec v=-35^\circ$.
4. $\vec v=78\ \mbf{m/s}$ en la dirección horizontal.
5. 1. $v_0=1{,}13\times10^3\ \mbf{m/s}$ en $45{,}0^\circ$ sobre la horizontal.
   2. $h_\text{max}=65{,}1\ \mbf{km}$.
6. 1. $d=375\ \mbf m$.
   2. $d=751\ \mbf m$.
7. Con eje $x$ horizontal alejándose de la casa y eje $y$ vertical hacia arriba.
   1. $d=8{,}1\ \mbf m$.
   2. $t=0{,}94\ \mbf s$.
   3. $\vec v=(8{,}7\,\hat\imath-14{,}2\,\hat\jmath)\,\mbf{m/s}$.
8. 1. $v_0=9{,}33\ \mbf{m/s}$.
   2. $t=1{,}21\ \mbf s$.
9. 1. $v_0=21{,}7\ \mbf{m/s}$.
   2. $t=1{,}70\ \mbf s$.
   3. $h_\text{max}=15{,}9\ \mbf m$.

Movimiento Circunferencial

1. $T=8{,}64\times 10^4\ \mbf s$, $\omega=7{,}27\times 10^{-5} \mbf{rad/s}$, $\vec v=463\,\hat\theta\ \mbf{m/s}=1{,}67\times 10^3\,\hat\theta\ \mbf{km/h}$.
2. 1. $\omega=3{,}1\ \mbf{rad/s}$.
   2. $T=2{,}0\ \mbf s$.
   3. $f=0{,}50\ \mbf{Hz}$.
   4. $\vec v=1{,}6\,\hat\theta\ \mbf{m/s}$.
3. 1. $\omega_0=30\ \mbf{rad/s}$.
   2. $\alpha=-0{,}50\ \mbf{rad/s^2}$.
   3. $\theta=9{,}0\times 10^2 \mbf{rad}=1{,}4\times 10^2$ vueltas.
4. 1. $\omega_f=3{,}50\ \mbf{rad/s}$.
   2. $\alpha=2{,}00\ \mbf{rad/s^2}$.
   3. $a_{_T}=0{,}400\ \mbf{m/s^2}$.
   4. $a_c^\text{final}=2{,}45\ \mbf{m/s^2}$.
5. 1. $\Delta \omega=-3{,}3\times 10^{-2}\ \mbf{rad/s}$.
   2. $a_{_T}=-0{,}33\ \mbf{m/s^2}$.
   3. $d=4{,}1\times10^2\ \mbf m$.
   4. $\omega(t=10\ \mbf s)=0{,}18\ \mbf{rad/s}$, $a_c(t=10\ \mbf s)=4{,}9\ \mbf{m/s^2}$.