Termodinámica: Trabajo y Primera Ley de la Termodinámica

Índice

1. Trabajo
2. Primera Ley de la Termodinámica
3. Constantes, datos y factores de conversión
4. Respuestas

Trabajo

1. Un cuerpo de $700\ \mt{g}$ se desliza $120\ \mt{cm}$ a lo largo de una mesa horizontal ¿Cuál es el trabajo que realiza la mesa sobre el cuerpo si la fuerza de roce es $1{,}37\ \mt{N}$?
2. Un alambre metálico con módulo de young $Y$, de largo $L$ y sección transversal de área $A$, se estira isotérmica y reversiblemente al aumentar la tracción desde $F_i$ hasta $F_f$. Determine
   1. Una expresión para el trabajo realizado por la tracción.
   2. El trabajo realizado por la tracción desde $F_i=100\ \mt{lb_f}$ hasta $F_f=150\ \mt{lb_f}$ si el alambre es de cobre de largo $L=5{,}50\ \mt{ft}$ y sección transversal de área $A=6{,}20\times 10^{-3}\ \mt{in^2}$.
3. Una barra de largo $L$, cuya sección transversal es de área $A$ está sujeta a una tensión normal de compresión constante. Si la temperatura de la barra aumenta desde $T_i$ hasta $T_f$, el módulo de young de la barra es $Y$ y el coeficiente de dilatación térmico es $\alpha$, determine
   1. El trabajo reversible sobre la barra.
   2. El trabajo reversible sobre el ambiente si se trata de una barra de bronce de largo $2{,}50\ \mt{m}$ y sección transversal de diámetro $d=5{,}00\ \mt{cm}$ sujeta a una compresión de $750\ \mt{kN}$ cuando la temperatura aumenta desde $-10{,}0^\circ\mt{C}$ hasta $60{,}0^\circ\mt{C}$.
4. La siguiente ecuación de estado describe una barra sólida de sección transversal de área $A$ perfectamente elástica

   $$\sigma=KT\left(\frac{L}{L_0}-\frac{L_0^2}{L^2}\right)$$

   donde $\sigma$ es la tensión normal, $T$ es su temperatura, $L$ es largo de la barra, $K$ es una constante y $L_0$ una función de la temperatura con unidades de longitud. Determine el trabajo necesario para comprimir la barra desde $L=L_0$ hasta $L=L_0/2$ de manera cuasiestática e isotérmica, si el área de su sección transversal es $A$.
5. Obtenga el trabajo que realiza el agua si la presión aumenta desde $1{,}0\ \mt{atm}$ a $100\ \mt{atm}$ cuando la densidad del agua permanece constante.
6. Un cilindro provisto de un pistón contiene $40{,}0\ \mt{ft^3}$ de un fluido a una presión de $15{,}0\ \mt{psi}$ y a una temperatura de $300\ \mt{K}$. La presión se aumenta reversiblemente hasta $1{,}200\ \mt{psi}$ manteniéndose la temperatura constante. Determine
   1. El trabajo realizado por el sistema si el fluido es un gas ideal.
   2. El trabajo realizado por el sistema si el fluido es un líquido con coeficiente de compresibilidad isotérmico $2{,}40\times10^{-6}\ \mt{1/psi}$.
   3. La variación de volumen en cada caso anterior.
7. Determine el trabajo molar $\bar{w}$ que realiza un gas en una expansión isotérmica reversible desde el volumen molar $\bar v_i$ a $\bar v_f$ si satisface la ecuación de estado:
   1. Gas ideal $$p\bar{v}=RT$$
   2. Van der Waals $$\left(p+\frac{a}{{\bar v}^2}\right)(\bar v-b)=RT$$
8. En una expansión adiabática cuasiestática de un gas ideal se obtiene que la presión es dada por $$pV^\gamma=C$$ donde $\gamma$, el índice adiabático índice adiabático y C son constantes. Obtenga el trabajo adiabático en función de la presión inicial, el volumen inicial, la presión final y el volumen final.

Indicación: El índice adiabático será introducido más adelante en el curso.


9. Considere $2{,}50\ \mt{kg}$ de agua líquida a $60{,}0^\circ\mt{C}$ cuya densidad es $983{,}20\ \mt{kg/m^3}$ que se calienta a $1{,}00\ \mt{atm}$ de presión hasta alcanzar el punto de ebullición a $100{,}0^\circ\mt{C}$. Manteniendo la presión constante, el agua hierve completamente. El volumen específico de líquido saturado es $1{,}0432 \times 10^{-3}\ \mt{m^3/kg}$ y el de vapor saturado $1{,}694\ \mt{m^3/kg}$. Determine
   1. El trabajo que realiza el agua líquida sobre el ambiente desde los $60{,}0^\circ\mt C$ hasta los $100{,}0^\circ\mt{C}$.
   2. El trabajo que realiza el agua al ebullir completamente.
   3. El trabajo total que realiza el agua desde los $60{,}0^\circ\mt{C}$ hasta que ebulle completamente ¿Es necesario tomar en cuenta el trabajo en la fase líquida?

Primera Ley de la Termodinámica

1. En cierto proceso se suministran a un sistema $500\ \mt{cal}$ y al mismo tiempo se realizan sobre el sistema $100\ \mt{J}$ de trabajo mecánico. Determine la variación de la energía interna del sistema.
2. Un inventor afirma que ha desarrollado una máquina que extrae $100{,}000\ \mt{BTU}$ de una fuente térmica, entrega $25{,}000\ \mt{BTU}$ al escape y realiza $25{,}0\ \mt{kWh}$ de trabajo mecánico. ¿Invertiría usted dinero en esta máquina? Otro inventor afirma que su máquina extrae $100{,}000\ \mt{kcal}$ de una fuente térmica, entrega $14{,}000\ \mt{kcal}$ al escape y realiza $100{,}0\ \mt{kWh}$ de trabajo mecánico. ¿Invertiría en esta segunda máquina?
3. Un balón de fútbol de masa $450\ \mt g$ es soltado desde una altura de $10.0\ \mt m$, el balón impacta el suelo y alcanza una altura máxima de $4.0\ \mt m$. Determine
   1. La perdida de energía mecánica durante el impacto.
   2. El tipo de proceso que experimenta el aire contenido en el balón si se considera el forro como aislante térmico (podría ser cuero).
   3. El cambio en la energía interna del aire contenido en el balón.
4. Una barra de hierro de largo $L=75{,}0\ \mt{cm}$ y diámetro $d=2{,}50\ \mt{cm}$ absorbe $64{,}8\ \mt{J}$ de calor y se calienta desde $15{,}0^\circ\mt{C}$ hasta $65{,}0^\circ\mt{C}$. Si la barra se encuentra sujeta a una tensión normal compresora constante de $114\ \mt{MPa}$, obtenga
   1. El trabajo que realiza la barra.
   2. El cambio en la energía de la barra.
5. Un hervidor eléctrico doméstico está formado por un resistor eléctrico que disipa energía en forma de calor hacia el agua que se desea calentar. Suponga que un hervidor consume $1{,}80\ \mt{kW}$ cuando se pone a hervir $1{,}5\ \mt{l}$ de agua originalmente a $10^\circ\mt{C}$. Calcule
   1. El trabajo que realiza el agua sobre el ambiente mientras se calienta desde $10^\circ\mt{C}$ hasta ebullir ($100^\circ\mt{C}$). ¿Qué tipo de proceso es este?
   2. El calor que absorbe el agua si hierve tras $12\ \mt{min}$ de funcionamiento, considerando que el hervidor tiene una eficiencia del $60\%$ (De cada 100 partes de energía consumida, 60 se usan para calentar el agua.)
   3. El cambio en la energía interna del agua.
6. Un gas se expande contra una presión de $2.00\ \mt{atm}$ desde $10{,}0\ \mt{l}$ a $20{,}0\ \mt{l}$ y absorbe una cantidad de calor de $1\,255\ \mt J$ ¿Cuál es el cambio en la energía interna del gas?
7. Un gas se expande de manera cuasiestática contra una presión variable opuesta dada por la relación $p = a/V$, donde $a=29{,}963\times 10^3\ \mt{ft\cdot lb}$ y $V$ es el volumen del gas en cada etapa de la expansión. Cuando el gas se expande desde $0{,}250\ \mt{ft^3}$ a $2{,}50\ \mt{ft^3}$, el gas experimenta un cambio de energía de $29{,}82\ \mt{kJ}$. Calcule el calor absorbido por el gas durante el proceso
8. Considere dos litros de un fluido contenido en un recipiente de paredes blandas (no rígidas) de masa despreciable inicialmente en reposo a una presión constante de $120{,}0\ \mt{atm}$. El fluido se eleva desde el suelo mediante un elevador hasta alcanzar $15{,}0\ \mt{m}$ de altura donde nuevamente queda en reposo. Durante el ascenso, el fluido se calienta desde $20^\circ\mt{C}$ hasta $25^\circ\mt{C}$ recibiendo calor de una estufa. Calcule el cambio de energía potencial gravitacional, el cambio de energía cinética, el trabajo en la expansión del fluido y el cambio de energía interna
   1. Si el fluido es mercurio líquido ($\ce{Hg}$), cuya densidad inicial es $13\,600\ \mt{kg/m^3}$, el trabajo que realiza el elevador es $4{,}200\ \mt{kJ}$ y el calor recibido es $18{,}724\ \mt{kJ}$.
   2. Si el fluido es gas helio ($\ce{He}$), el trabajo que realiza el elevador es $10{,}0\ \mt{J}$ y el calor recibido es $1{,}448\ \mt{kJ}$.
   3. En virtud de sus resultados ¿Qué magnitudes podrían haber sido despreciadas en el caso del líquido y en el caso del gas?

---

Constantes, datos y factores de conversión

• Aceleración de gravedad estándar
  $g=9{,}81\,\mt{m/s^2}= 32{,}2\,\mt{ft/s^2}$.
• Presión atmosférica estándar
  $p_\text{atm}\equiv 1\,\mt{atm}\equiv 101\,325\,\mt{Pa}=2\,116{,}2\,\mt{lb/ft^2}=14{,}696\ \mt{psi}.$
• Temperatura del cero absoluto
  $T_{0\,\mt K}\equiv 0\ \mt K\equiv 0\ \mt R\equiv -273{,}15^\circ\mt{C}\equiv -459{,}67^\circ\mt{F}.$
• Constante Universal de los gases
  $R=8{,}314\ \mt{\frac{Pa\cdot m^3}{mol\cdot K}}=1\,545\ \mt{\frac{ft\cdot lb_f}{lbmol\cdot R}}$
• Masa atómica del helio $\ce{He}$
  $M_{\ce{He}}=4{,}00\ \mt{g/mol}$.
• Densidad de masa del agua $\ce{H2O}$
  $\rho_{_{\ce{H2O}}}=1{,}00\times 10^3\ \mt{kg/m^3}=62{,}4\ \mt{lb_m/ft^3}$.
• Módulo de Young del cobre $\ce{Cu}$
  $Y_{\ce{Cu}}=2{,}44\times 10^{5}\ \mt{psi}$.
• Módulo de Young del bronce
  $Y_\text{bronce}=100\ \mt{GPa}$.
• Módulo de Young del hierro $\ce{Fe}$
  $Y_{\ce{Fe}}=190\ \mt{GPa}$.
• Coeficiente de dilatación lineal del bronce
  $\alpha_\text{bronce}= 1{,}7\times 10^{-5}\ \mt{1/K}$.
• Coeficiente de dilatación lineal del hierro $\ce{Fe}$
  $\alpha_{_{\ce{Fe}}}= 1{,}18\times 10^{-5}\ \mt{1/K}$.
• Coeficiente de dilatación volumétrica del agua $\ce{H2O}$
  $\gamma_{_{\ce{H_2O}}}=4{,}80\times 10^{-4}\ \mt{1/^\circ\mt{C}}$.
• Coeficiente de dilatación volumétrica del mercurio $\ce{Hg}$
  $\gamma_{_{\ce{Hg}}}=1{,}81\times 10^{-4}\ \mt{1/K}$.
• Coeficiente de compresibilidad isotérmico del agua a $20^\circ\mt{C}$
  $\kappa_{_T}^{_{\ce{H2O}}}=4{,}591\times 10^{-4}\ \mt{1/MPa}.$
• $1\,\mt{ft}\equiv 30{,}48\,\mt{cm}\equiv 12\,\mt{in}$.
• $1\,\mt{lb_m}= 453{,}6\,\mt{g}$.
• $1\,\mt{lb_f}\equiv 1\,\mt{lb_m}\times g=4{,}45\,\mt{N}$.
• $1\,\mt{slug}\equiv 1\,\mt{\frac{lb_f}{ft/s^2}}= 32{,}2\,\mt{lb_m}$.
• $1\ \mt{bar}\equiv 10^5\ \mt{Pa}=2\,088{,}5\ \mt{lb/ft^2}=14{,}504\ \mt{psi}$.
• $1\ \mt{cal}\equiv 4{,}184\ \mt{J}$.
• $1\ \mt{BTU}= 1{,}054\ \mt{kJ}$.
• $1\ \mt{kWh}\equiv 3{,}6\ \mt{MJ}\equiv 3\,600\ \mt{kJ}$.
• $1\ \mt{ft\cdot lb}= 1{,}356\ \mt{J}$.

---

Respuestas

Trabajo

1. $W=-1{,}64\ \mt{J}$
2. 1. $W_\text{tracción}=\frac{L}{2YA}\left(F^2_f-F^2_i\right)$
   2. $W_\text{tracción}=22{,}7\ \mt{ft\cdot lb}$
3. 1. $W_\text{dilatación}=\sigma AL\alpha(T_f-T_i)$
   2. $W=2{,}23\ \mt{kJ}$
4. $W_\text{compresión}=\frac{5}{8}KTAL_0$
5. $W_{\ce{H_2O}}=0$
6. 1. $W_\text{gas ideal}=-379\times 10^3\ \mt{ft\cdot lb}$
   2. $W_\text{líquido}=-9{,}95\times 10^3\ \mt{ft\cdot lb}$
   3. $\Delta V_\text{gas ideal}=-39{,}5\ \mt{ft^3}$
      $\Delta V_\text{líquido}=-0{,}114\ \mt{ft^3}$
7. 1. $\bar w_{_\text{gas ideal}}=RT\ln\left(\frac{\bar v_f}{\bar v_i}\right)$
   2. $\bar w_{_\text{VdW}}=RT\ln\left(\frac{\bar v_f-b}{\bar v_i- b}\right)+\frac{a}{\bar v_f}-\frac{a}{\bar v_i}$
8. $W_\text{adiabático}=-\frac{1}{\gamma-1}\left(p_fV_f-p_iV_i \right)$
9. 1. $W_\text{l}=6{,}61\ \mt{J}$
   2. $W_{\text{l}\rightarrow\text{g}}=429\ \mt{kJ}$
   3. $W_\text{total}=429\ \mt{kJ}$
      El trabajo del agua líquida es completamente despreciable.

Primera Ley de la Termodinámica

1. $\Delta U=524\ \mt{cal}=2{,}19\ \mt{kJ}$
2. No. La primera máquina recibe $Q=75\,000\ \mt{BTU}=79{,}050\ \mt{MJ}$ y supuestamente realiza $25{,}0\ \mt{kWh}=90{,}0\ \mt{MJ}$ de trabajo. En cada ciclo de la máquina el cambio de energía debe ser cero ($\Delta U=0$). Esta máquina no puede existir.
   La segunda máquina cumple la primera ley de la termodinámica. Sí invertiría.
3. 1. $\Delta E_{_\text{M}}=-26{,}49\ \mt{J}\approx -26\ \mt{J}$.
      Se perdieron $26\ \mt{J}$.
   2. Adiabático.
   3. $\Delta U_\text{aire}=26\ \mt{J}$, considerando que no se transfiere energía al ambiente.
4. 1. $W_\text{barra}=24{,}8\ \mt{J}$.
   2. $\Delta U_\text{barra}=40{,}0\ \mt{J}$
5. 1. $W_{\ce{H_2O}}=6{,}6\ \mt{J}$
      Proceso isobárico ($p=1{,}0\ \mt{atm}$).
   2. $Q=778\ \mt{kJ}$
   3. $\Delta U_{\ce{H_2O}}=778\ \mt{kJ}$.
      El trabajo de la expansión del agua es completamente despreciable.
6. $\Delta U_\text{gas}=-771{,}5\ \mt{J}\approx -0{,}77\ \mt{kJ}$
7. $Q=90{,}98\times 10^3\ \mt{ft\cdot lb}=123{,}4\ \mt{kJ}$
8. 1. $\Delta U_g=4{,}00\ \mt{kJ}$
      $\Delta K=0{,}0\ \mt{J}$
      $W_{\ce{Hg}}=22{,}0\ \mt{J}$
      $\Delta U=18{,}90\ \mt{kJ}$
   2. $\Delta U_g=5{,}87\ \mt{J}$
      $\Delta K=0{,}0\ \mt{J}$
      $W_{\ce{He}}=415\ \mt{J}$
      $\Delta U=1\,037\ \mt{J}$
   3. El trabajo de expansión del líquido es completamente despreciable.
      El cambio de energía potencial del gas es completamente despreciable.