Momentum Lineal

Mecánica

Guía 11: Momentum Lineal

1.- Impulso y Momentum Lineal

1. Un balón de fútbol de masa $m=450\, \mbf g$, inicialmente en resposo, es pateado por Cristiano Ronaldo (CR7) con máxima potencia de modo que alcanza $119\, \mbf{km/h}$. Determine
   1. El momentum del balón tras el disparo.
   2. El impulso que aplica CR7 sobre el balón.
   3. La fuerza promedio que realiza CR7 sobre el balón, si el impacto dura $50{,}0\, \mbf{ms}$.
   
   Indicación: La fuerza promedio se obtiene a partir del impulso, considerando que la fuerza es constante $$\vec I_{\vec F}=\vec F_\text{prom}\, \Delta t.$$


2. Un conductor de masa $m=75{,}0\, \mbf{kg}$ detenido en una esquina observa que se enciende la luz verde del semáforo, acelera y alcanza una rapidez de $6{,}50\, \mbf{m/s}$ en solo $0{,}900\, \mbf s$. Determine
   1. El cambio de momentum lineal del conductor.
   2. La fuerza promedio sobre el conductor ¿Qué objeto realiza esta fuerza?
   
   


3. Desde una altura de $1{,}00\, \mbf m$ se deja caer una pelota de $50\, \mbf{g}$ que rebota en el suelo hasta alcanzar una altura de $0{,}60\, \mbf m$. Calcule
   1. La velocidad y el momentum de la pelota justo antes de chocar con el piso.
   2. El momentum justo después de chocar con el piso.
   3. El impulso que realiza el suelo sobre la pelota.
   
   


4. Un tenista recibe el segundo saque de Fernando González a $180\, \mbf{km/h}$ y logra devolver a $144\, \mbf{km/h}$ con ángulo de elevación de $20^\circ$. Si la pelota de masa $m=60\, \mbf g$ es impactada cuando viajaba horizontalmente en la dirección negativa del eje $x$. Determine
   1. El momentum lineal de la pelota antes y después del impacto con la raqueta.
   2. El impulso sobre la pelota.
   3. La fuerza promedio de la pelota sobre la raqueta si están en contacto durante $0{,}020\, \mbf s$.
   
   

2.- Colisiones

1. Un jugador de rugby de $90\, \mbf{kg}$ corre hacia el norte con rapidez de $10\, \mbf{m/s}$. Otro jugador, del equipo rival, de $120\, \mbf{kg}$ corre hacia el sur con rapidez de $4{,}0\, \mbf{m/s}$ y logra derribar a su adversario mediante un tackle (suponga que se cuelga del adversario a la altura de las piernas.). Determine
   1. El vector velocidad con que se mueven ambos jugadores justo después del tackle.
   2. El cambio de energía del sistema formado por ambos jugadores durante el tackle.


2. Una bala de masa $m=10{,}0\, \mbf g$ queda incrustada en un bloque de madera de masa $M=5{,}00\, \mbf{kg}$ inicialmente en reposo. Justo tras el impacto, el sistema bala-bloque de madera se mueve con velocidad $0{,}600\, \mbf{m/s}$.

   

   Calcule
   1. La velocidad inicial de la bala.
   2. La energía (cinética) del sistema bala-bloque de madera antes y después del impacto.
   3. La perdida de energía durante el impacto.


3. Un vagón de ferrocarril de $2{,}5\times 10^4\, \mbf{kg}$ de masa, se mueve con una velocidad de $4{,}0\, \mbf{m/s}$. En su camino hay tres vagones acoplados que se mueven en la misma dirección pero con velocidad de $2{,}0\, \mbf{m/s}$. Considere que todos los vagones tienen la misma masa.

   

   Obtenga
   1. La velocidad de los cuatro vagones después del impacto.
   2. La energía que se pierde en el choque.


4. Una masa de plasticina de $60{,}0\, \mbf g$ es arrojada hacia la dirección negativa del eje $x$ contra otra masa de $40{,}0\, \mbf g$ que se mueve con velocidad de $3{,}00\,\hat\jmath\, \mbf{m/s}$. Tras el choque las masas pemanecen unidas moviendose con rapidez de $3{,}20\, \mbf{m/s}$ y formando un ángulo de $68{,}0^\circ$ con respecto al eje $y$ en el segundo cuadrante. Determine la velocidad de la masa de $60{,}0\, \mbf g$ antes del choque.


5. Un núcleo inestable de $\ce{^{10}_4Be}$, cuya masa es $17\times 10^{-27}\, \mbf{kg}$ inicialmente en reposo, se desintegra en tres partículas. La primera de ellas, $\left(\ce{^{3}_2He}\right)$ de $5{,}0\times 10^{-27}\, \mbf{kg}$, se mueve a lo largo del eje $y$ con velocidad de $6{,}0\times 10^6\, \mbf{m/s}$. Otra partícula, $\left(\ce{^{5}_3Li}\right)$ de $8{,}4\times 10^{-27}\, \mbf{kg}$, se mueve a lo largo del eje $x$ con velocidad de $4{,}0\times 10^6\, \mbf{m/s}$. Determine
   1. La velocidad de la tercera partícula.
   2. La energía emitida en el proceso.


6. Durante un juego de billar la bola blanca que se mueve a $5{,}00\, \mbf{m/s}$ golpea a una bola «8» en reposo. Después de la colisión la bola blanca se mueve a $4{,}33\, \mbf{m/s}$ con un ángulo de $30{,}0^\circ$ respecto de la dirección original del movimiento. Si la masa de cada bola es $m=160\, \mbf{g}$, determine
   1. La velocidad de la bola «8» tras el choque.
   2. El cambio en la energía cinética del sistema formado por la bola blanca y la «8» ¿Qué tipo de choque ocurrió?

3.- Centro de masa

1. La masa de la Tierra es $M_T=5{,}97\times 10^{24}\, \mbf{kg}$ y la de la Luna $M_L=7{,}35\times 10^{22}\, \mbf{kg}$. Sabiendo que la distancia media del centro de la Tierra al centro de la Luna es $3{,}84\times 10^5\, \mbf{km}$. Obtenga
   1. La distancia desde el centro de la Tierra a la que se encuentra el centro de masas del sistema y compare con el radio de la Tierra $R_T=6{,}370\times 10^3\, \mbf{km}$.


2. En cierto instante de tiempo, una partícula de $3{,}00\, \mbf{kg}$ se encuentra en la posición $\vec r_1=(-5{,}00\,\hat\imath+3{,}00\,\hat\jmath)\,\mbf m$, una segunda partícula de $2{,}00\, \mbf{kg}$ se encuentra en $\vec r_2=3{,}00\,\hat\imath\, \mbf m$ mientras una tercera de $4{,}00\, \mbf{kg}$ está ubicada en $\vec r_3=(2{,}50\,\hat\imath-4{,}50\,\hat\jmath)\, \mbf m$. Si las velocidades de las partículas son $\vec v_1=(1{,}00\,\hat\imath-2{,}00\,\hat\jmath)\,\mbf{m/s}$, $\vec v_2=5{,}00\,\hat\jmath\, \mbf{m/s}$ y $\vec v_3=0{,}00\, \mbf{m/s}$. Obtenga
   1. La posición y la velocidad del centro de masa del sistema formado por las dos primeras partículas.
   2. La posición y la velocidad del centro de masa del sistema formado por las tres partículas.


3. Una partícula de $16{,}0\, \mbf g$ se mueve a $3{,}00\, \mbf{m/s}$ hacia una partícula en resposo de $7{,}00\, \mbf g$. Determine
   1. La velocidad del centro de masa.
   2. La velocidad con que se aproxima cada partícula al centro de masa.
   3. El \textit{momentum} de cada partícula, respecto del centro de masa.

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Respuestas

1.- Impulso y Momentum Lineal

1. 1. $\vec p_f=14{,}9\,\mbf{kg\,m/s}$ en la dirección de disparo.
   2. $\vec I_\text{CR7}=14{,}9\,\mbf{kg\,m/s}$ en la dirección de disparo.
   3. $\vec F_\text{CR7}^\text{prom}=298\,\mbf{N}$ en la dirección de disparo.


2. 1. $\Delta\vec p=488\,\mbf{kg\,m/s}$ en la dirección de aceleración.
   2. $\vec N_\text{asiento}^\text{prom}=542\,\mbf{N}$ en la dirección de aceleración.
      El asiento ejerce la fuerza.


3. 1. $\vec v=4{,}43\, \mbf{m/s}$ y $\vec p=0{,}22\,\mbf{kg\,m/s}$ ambos hacia abajo.
   2. $\vec p=0{,}17\,\mbf{kg\,m/s}$ hacia arriba.
   3. $\vec I_\text{suelo}=0{,}39\,\mbf{kg\,m/s}$ hacia arriba, donde hemos despreciado el impulso del peso.


4. 1. $\vec p_i=-3{,}0\,\hat\imath\, \mbf{kg\,m/s}$
      $\vec p_f=(2{,}3\,\hat\imath+0{,}82\,\hat\jmath)\, \mbf{kg\,m/s}$.
   2. $\vec I=(5{,}3\,\hat\imath+0{,}82\,\hat\jmath)\, \mbf{kg\,m/s}$.
   3. $\vec F=(-2{,}7\,\hat\imath-0{,}41\,\hat\jmath)\times 10^2\, \mbf{N}$.

2.- Colisiones

1. 1. $\vec v_f=2{,}0\, \mbf{m/s}$ hacia el norte.
   2. $\Delta E=-5{,}0\, \mbf{kJ}$. Se pierden $5{,}0\, \mbf{kJ}$.


2. 1. $\vec v_m=301\, \mbf{m/s}$ hacia la derecha.
   2. $K_i=453\, \mbf{J}$
      $K_f=0{,}902\, \mbf{J}$.
   3. $\Delta E=-452\, \mbf{J}$. Se pierden $452\, \mbf{J}$.


3. 1. $\vec V=2{,}5\, \mbf{m/s}$ hacia la derecha.
   2. $\Delta E=-37\, \mbf{kJ}$. Se pierden $37\, \mbf{kJ}$.


4. $\vec v=-4{,}94\,\hat\imath\, \mbf{m/s}$.


5. 1. $\vec v=(-9{,}3\,\hat\imath-8{,}3\,\hat\jmath)\, \mbf{m/s}$.
   2. $\Delta E=4{,}4\times 10^{-13}\, \mbf{J}$. El proceso emite $4{,}4\times 10^{-13}\, \mbf{J}$.


6. 1. $\vec v=2{,}50\, \mbf{m/s}$ en $60{,}0^\circ$ respecto de la dirección original de movimiento.
   2. $\Delta K=0{,}00\, \mbf{J}$. El choque es elástico.

3.- Centro de masa

1. $d_\text{CM}=4{,}67\times 10^6\, \mbf m=4{,}67\times 10^3\, \mbf{km} < R_T$. El centro de masas del sistema Tierra-Luna se encuentra en el interior del planeta Tierra.


2. 1. $\vec r_\text{CM}=(-1{,}8\,\hat\imath+1{,}80\,\hat\jmath)\,\mbf m$
      $\vec v_\text{CM}=(0{,}600\,\hat\imath+0{,}80\,\hat\jmath)\,\mbf{m/s}$.
   2. $\vec r_\text{CM}=(0{,}11\,\hat\imath+1{,}0\,\hat\jmath)\,\mbf m$
      $\vec v_\text{CM}=(0{,}600\,\hat\imath+0{,}80\,\hat\jmath)\,\mbf{m/s}$.


3. Fijemos el eje $x$ apuntando en la dirección en que se mueve la primera partícula.
   1. $\vec v_\text{CM}=2{,}18\,\hat\imath\,\mbf{m/s}$.
   2. $\vec v^{\ 1}_\text{c/r CM}=0{,}82\,\hat\imath\,\mbf{m/s}$
      $\vec v^{\ 2}_\text{c/r CM}=-2{,}18\,\hat\imath\,\mbf{m/s}$.
   3. $\vec p^{\ 1}_\text{c/r CM}=1{,}3\times 10^{-2}\,\hat\imath\, \mbf{kg\,m/s}$
      $\vec p^{\ 2}_\text{c/r CM}=-1{,}53\times10^{-2}\,\hat\imath\ \mbf{kg\,m/s}$.