Termodinámica: Temperatura

A continuación revisaremos algunos problemas relacionados con la temperatura. Deberás transformar la tempereatura entre distintas escalas termométricas, y resolver algunos problemas sencillos que involucran la dilatación térmica de líquidos y solidos.

El termómetro es el instrumento que se utiliza para medir la temperatura, la propiedad termodinámica por excelencia. En la imagen, un termómetro de cocina calibrado en dos de las escalas termométricas más populares, la escala Celsius ($^\circ\mt C$) y la escala Fahrenheit ($^\circ\mt F$).
Créditos: Steven Jackson bajo licencia CC BY 2.0

Índice

1. Escalas de temperatura
2. Dilatación térmica
3. Constantes, datos y factores de conversión
4. Respuestas

Escalas de temperatura

1. ¿A qué temperatura dan la misma lectura las escalas Fahrenheit y Celsius? ¿A qué temperatura las escalas Fahrenheit y Kelvin?
2. La temperatura de la superficie del Sol es aproximadamente $6\,000\,\mt K$. Exprese esta temperatura en la escala Fahrenheit.
3. La escala Rankine de temperatura absoluta fue propuesta por el físico e ingeniero escocés William Rankine en 1859. Se define tomando un rankine ($1\,\mt{R}$) igual a un grado Fahrenheit ($1\mt{^{\circ}F}$) y considerando que la temperatura del cero absoluto es idénticamente $0\,\mt{R}$. Determine
   1. La temperatura del cero absoluto en la escala Fahrenheit.
   2. La relación entre la escala Fahrenheit y la escala Rankine.
   3. La relación entre la escala Celsius y la escala Rankine.
   4. La relación entre la escala Kelvin y la escala Rankine.
   5. La temperatura del punto de ebullición del agua y del punto de fusión del hielo en rankine.
4. Dos escalas termométricas lineales, $X$ e $Y$, se han establecido de la siguiente manera:
   

   Escala	$T_f$	$T_v$
   $X$	$20$	$220$
   $Y$	$-20$	$280$

   donde $T_f$ y $T_v$ son respectivamente las temperaturas a $1{,}0\,\mt{atm}$ de presión, del punto de fusión del hielo puro y del punto de ebullición normal del agua pura.

   Obtenga

   1. La relación entre la escala $X$ y la escala Celsius.
   2. La relación entra la escala $Y$ y la escala Kelvin.
   3. La relación entre la escala $X$ y la escala $Y$.
   4. La temperatura del cero absoluto medida en la escala $X$ y en la escala $Y$.
5. La diferencia de temperatura entre el interior y el exterior de un motor de automóvil es de $450^\circ\mt C$. Exprese esta diferencia en
   1. la escala Fahrenheit.
   2. la escala Kelvin.
   3. la escala Rankine.
6. Un termómetro de gas a volumen constante es un dispositivo que mantiene un gas en un recipiente de paredes rígidas y diatérmicas, que utiliza la presión del gas como propiedad termométrica.

   Un termómetro de gas a volumen constante se calibra en el punto de fusión del mercurio ($\ce{Hg}$ a $-39{,}0^\circ\mt C$) donde al medir la presión del gas se obtiene $1{,}561\,\mt{atm}$, y en el punto de ebullición del alcohol etílico ($\ce{CH_3-CH_2-OH}$ a $78{,}0^\circ\mt C$) donde la presión del gas es $2{,}341\,\mt{atm}$.

   1. Construya la escala termométrica correspondiente, es decir, determine la temperatura en función de la presión $T(p)$.
   2. Si la presión del gas tiende a cero ¿Qué temperatura marcaría el termómetro?
   3. ¿Cuál es la presión del gas en el punto de congelación del agua?

Dilatación térmica

1. El coeficiente de dilatación volumétrica del tetracloruro de carbono ($\ce{CCl_4}$) es $\gamma=5{,}81\times 10^{-4}\,\mt{1/^\circ C}$. Si un recipiente de acero de $200\,\mt l$ se llena completamente con $\ce{CCl_4}$ cuando la temperatura es de $10{,}0^\circ\mt C$ ¿Cuánto se derramará cuando la temperatura haya alcanzado los $30{,}0^\circ\mt C$?

   Indicación: Desprecie la dilatación del recipiente.

2. Sobre una placa de acero se realiza un agujero de $7{,}150\,\mt{cm}$ de diámetro cuando la temperatura es de $7{,}0^\circ\mt C$. Luego la placa es calentada hasta alcanzar los $150{,}0^\circ\mt C$
   1. ¿Cuál es el área del agujero antes y después del calentamiento?
   2. ¿Cuál es el diámetro del agujero después de calentar la placa?

   Indicación: El acero es una aleación (mezcla) de hierro con una cantidad de carbono variable entre el $0{,}002\,\%$ y el $2{,}1\,\%$ en masa de su composición.

3. Una ventana de vidrio mide $6{,}00\,\mt{ft}$ de ancho y $9{,}00\,\mt{ft}$ de alto a $50{,}0^\circ\mt F$
   1. ¿Cuánto aumenta su área cuando la temperatura alcanza los $104{,}0^\circ\mt F$?
   2. ¿Cuál fue la temperatura final del vidrio en grados Celsius?

   Indicación: El vidrio es un material sólido compuesto por una mezcla de sílice ($\ce{SiO_2}$) sobre un $65\,\%$, óxido de sodio ($\ce{Na_2O}$) sobre un $10\,\%$ y cal ($\ce{CaO}$) sobre un $9\,\%$, más otros óxidos.

4. Una barra de acero mide $3{,}000\,\mt{cm}$ de diámetro a $25{,}0^\circ\mt C$. Un anillo de latón tiene un diámetro interior de $2{,}992\,\mt{cm}$ a $25{,}0^\circ\mt C$ ¿A qué temperatura es necesario calentar ambos materiales para que la barra pueda entrar en el agujero del anillo?

   Indicación: El latón es una aleación metálica mayoritariamente de cobre y cinc ($\ce{Zn}$).

5. Determine la relación entre el coeficiente de dilatación lineal medido en $\mt{1/^\circ C}$ y el medido en $\mt{1/^\circ F}$

Indicación: Determine la diferencia medida en grados Fahrenheit, entre dos temperaturas separadas por un grado Celsius.

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Constantes, datos y factores de conversión

• Aceleración de gravedad estándar
  $g=9{,}81\,\mt{m/s^2}= 32{,}2\,\mt{ft/s^2}$.
• Densidad de masa del agua
  $\rho_{_{\ce{H2O}}}=1{,}00\times 10^3\, \mt{kg/m^3}=62{,}4\, \mt{lb_m/ft^3}$.
• Presión atmosférica estándar
  $p_\text{atm}\equiv 1\,\mt{atm}\equiv 101\,325\,\mt{Pa}=14{,}696\,\mt{psi}$.
• Temperatura del cero absoluto
  $T_{0\,\mt K}\equiv 0\, \mt K\equiv 0\, \mt R\equiv -273{,}15^\circ\mt{C}\equiv-459{,}67^\circ\mt F$.
• Temperatura de ebullición del agua
  $T_{fg}^{1{,}0\,\mt{atm}} =100^\circ\mt{C}\equiv 212^\circ\mt F$.
• Temperatura de fusión del hielo
  $T_{sf}^{1{,}0\,\mt{atm}} = 0{,}0^\circ\mt{C}\equiv 32^\circ\mt F$.
• Coeficiente de dilatación volumétrico del $\ce{CCl4}$
  $\gamma_{_{\ce{CCl4}}}=5{,}81\times 10^{-4}\,\mt{1/^\circ\mt C}$.
• Coeficiente de dilatación volumétrico del acero
  $\gamma_\text{acero}=3{,}300\times 10^{-5}\,\mt{1/^\circ\mt C}$.
• Coeficiente de dilatación lineal del vidrio
  $\alpha_{vidrio}=5{,}00\times 10^{-6}\,\mt{1/^\circ\mt F}$.
• Coeficiente de dilatación lineal del latón
  $\alpha_\text{latón}=1{,}90\times 10^{-5}\,\mt{1/^\circ\mt C}$.
• $1\,\mt{ft}\equiv 30{,}48\,\mt{cm}\equiv 12\,\mt{in}$.
• $1\,\mt{lb_m}= 453{,}6\,\mt g$.
• $1\,\mt{lb_f}\equiv 1\,\mt{lb_m}\times g=4{,}448\,\mt N $.
• $1\,\mt{slug}\equiv 1\,\mt{\frac{lb_f}{ft/s^2}}= 32{,}2\,\mt{lb_m}$.

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Respuestas

1. $-40^\circ\mt F=-40^\circ\mt C$ y $574{,}587\,5^\circ\mt F=574{,}587\,5\,\mt K$.
2. $T_\mt{Sol}=10\,340{,}33^\circ\mt F$.
3. 1. $T_{0\,\mt K}=-459{,}67^\circ\mt F$.
   2. $T_\mt{R}=T_\mt{F}+459{,}67$.
   3. $T_\mt{R}=\frac{9}{5}(T_\mt{C}+273{,}15)$.
   4. $T_\mt{R}=\frac{9}{5}T_\mt{K}$.
   5. $T_v=671{,}67\,\mt R$ y $T_f=491{,}67\,\mt R$.
4. 1. $T_\mt{X}=20+2T_\mt{C}$.
   2. $T_\mt{Y}=-20+3(T_\mt{K}-273{,}15)$.
   3. $T_\mt{X}=20+\frac{2}{3}(T_\mt{Y}+20)$.
   4. $T_{0\,\mt K}=-526{,}3^\circ\mt X=-839{,}45^\circ\mt Y$.
5. 1. $\Delta T_\mt{F}=810^\circ\mt{F}$.
   2. $\Delta T_\mt{K}=450\,\mt{K}$.
   3. $\Delta T_\mt{R}=810\,\mt R$.
6. 1. Con $T$ en $^\circ\mt C$ y $p$ en $\mt{atm}$, $T(p)=150(p-1{,}561)-39{,}0$, o $T(p)=150(p-2{,}341)+78{,}0$, o $T(p)=150\,p-273{,}15$.
   2. $T(p=0{,}0\,\mt{atm})=-273{,}15^\circ\mt C$.
   3. $p^{0{,}0^\circ\mt{C}}=1{,}821\,\mt{atm}$.

1. $V_\text{derramado}=2{,}32\,\mt l$.
2. 1. $A_\text{antes}=40{,}15\,\mt{cm^2}$ y $A_\text{después}=40{,}28\,\mt{cm^2}$.
   2. $d_\text{después}=7{,}161\,\mt{cm}$.
3. 1. $\Delta A=2{,}92\times 10^{-2}\,\mt{ft^2}=4{,}20\,\mt{in^2}$.
   2. $T_f=40{,}0^\circ\mt C$.
4. A una temperatura mayor que $360^\circ\mt C$.
5. $\frac{1}{^\circ\mt C}\equiv 1{,}8\,\frac{1}{^\circ\mt F}$.