Torque y Momentum Angular

Mecánica

Guía 13: Torque y Momentum Angular

1.- Torque

1. Si $a=10\,\mbf{cm}$, $b=25\,\mbf{cm}$ y $\beta=30^\circ$

   

   1. Encuentre el torque neto sobre la rueda alrededor de un eje que pasa por su centro.
   2. Si el momento de inercia de la rueda es $I=0{,}25\,\mbf{kg\,m^2}$, determine su aceleración angular.


2. Una barra uniforme de longitud $L$ y masa $M$ gira libremente alrededor de un pivote (eje) sin fricción en un extremo de un plano vertical. La barra se suelta a partir del reposo en la posición horizontal, como se ve en la figura.

   

   Cuando la barra comienza a caer, determine.
   1. El torque realizado por el peso de la barra considerando como eje el pivote en $P$.
   2. El momento de inercia de la barra respecto de $P$, sabiendo que el momento de inercia respecto del centro de masa de la barra es $I_\text{CM}=\frac{1}{12}ML^2$.
   3. La aceleración angular de la barra respecto de $P$ y la aceleración lineal (tangencial) del extremo libre de la barra.
   
   Indicación: Use el Teorema de Steiner (teorema de los ejes paralelos).


3. En la figura se muestra una rueda de radio $R$ y masa $M$ montada sobre un eje horizontal sin roce. Una cuerda ligera enrollada alrededor de la rueda soporta un objeto de masa $m$.

   

   Determine
   1. La aceleración del bloque $m$.
   2. La tensión en la cuerda.
   3. La aceleración angular de la rueda.


4. Considere la máquina de Atwood de la figura. La polea se puede considerar como un disco sólido de radio $R$ y masa $M$. Los bloques de masa $m_1=2M$ y $m_2=3M$ se encuentran unidos mediante una cuerda sin masa que no resbala en la polea.

   

   Determine
   1. La aceleración de los bloques.
   2. La tensión $\vec T_1$ en la cuerda, entre el bloque $m_1$ y la polea.
   3. La aceleración angular de la polea.
   4. La tensión $\vec T_2$ en la cuerda, entre el bloque $m_2$ y la polea.


5. Dos bloques de masa $m_1$ y $m_2$ están conectados entre sí mediante una cuerda de masa despreciable que pasa por sobre dos poleas idénticas, cada una con momento de inercia $I$.

   

   Suponga que la cuerda no desliza sobre las poleas. Encuentre
   1. La aceleración de los bloques.
   2. Las tensiones $\vec T_1$, $\vec T_2$ y $\vec T_3$ en cada segmento de la cuerda.
   3. La aceleración angular de cada polea.


6. Un niño de masa $m_\text{niño}=40\,\mbf{kg}$ y una niña de masa $m_\text{niña}=36\,\mbf{kg}$ juegan a equilibrase en un balancín de largo $L=8{,}0\,\mbf m$ y masa $M=6{,}0\,\mbf{kg}$. La niña se encuentra en el extremo derecho a $4{,}0\,\mbf m$ del pivote del balancín. Suponga que el balancín es homogéneo y el centro de masa del mismo se ubica justo sobre el pivote.

   

   Encuentre
   1. El torque neto realizado sobre el balancín respecto de su centro de masa, en términos de la distancia $d$ a la que se encuentra el niño.
   2. La distancia $d$ que separa el pivote de la posición del niño para que el balancín permanezca en equilibrio.
   3. La fuerza normal que realiza el pivote sobre el balancín para mantenerlo en equilibrio.


7. Un disco de masa $M$ y radio $R$ rueda por un plano inclinado de ángulo $\beta$ y coeficiente de roce estático $\mu_e$.

   

   Determine
   1. La aceleración del centro de masa del disco.
   2. La fuerza de roce necesaria para que el disco no deslice.
   3. El mínimo coeficiente de roce estático para que el disco no resbale, considerando $\beta=30^\circ$.

2.- Momentum Angular

1. Dos discos de masa $M$ y radios ($r$ y $2r$) están girando sobre un eje sin fricción con la misma velocidad angular $\omega_0$ pero en sentidos opuestos. Los discos son acercados hasta hacer contacto de modo que la fuerza de roce entre ellos hace que después de un tiempo alcancen la misma velocidad angular.

   

   En términos de $M$, $r$ y $\omega_0$ obtenga
   1. La velocidad angular final de los discos.
   2. El cambio de energía cinética rotacional del sistema ¿Gana o pierde?


2. Un estudiante se sienta sobre un banco rotatorio de fricción despreciable sosteniendo dos mancuernas, cada una de $3{,}00\,\mbf{kg}$ de masa. Cuando el estudiante extiende los brazos horizontalmente, las mancuernas están a $1{,}00\,\mbf m$ del eje de rotación y el estudiante da vueltas con una rapidez angular de $0{,}750\,\mbf{rad/s}$. Luego el estudiante jala las mancuernas horizontalmente hacia adentro a una posición $0{,}300\,\mbf m$ del eje de rotación. Si el momento de inercia del estudiante más el banco es de $3{,}00\,\mbf{kg\cdot m^2}$ y se puede considerar constante.

   

   Encuentre
   1. La nueva rapidez angular del estudiante.
   2. El cambio de energía cinética del sistema.


3. Un bloque de madera de masa $M$, que descansa sobre una superficie horizontal sin fricción, está unido a una barra rígida de longitud $l$ y masa despreciable que puede girar libremente con respecto a un eje en su otro extremo. Una bala de masa $m$, que viaja paralela a la superficie horizontal y perpendicular a la barra con rapidez $v$, golpea al bloque y queda incrustada en él.

   

   Determine
   1. El momentum angular del sistema bala-bloque.
   2. La velocidad lineal del bloque después del impacto.
   3. La fracción de energía cinética que se pierde en la colisión, es decir, el cociente entre la energía cinética perdida y la energía cinética inicial.


4. Un proyectil de masa $m$ se mueve hacia la derecha con una rapidez $v_i$. El proyectil golpea y se pega al extremo de una barra en equilibrio de masa $M$ y longitud $d$ articulada en torno a un eje sin fricción a través de su centro.

   

   Obtenga
   1. La rapidez angular del sistema justo después de la colisión.
   2. La pérdida fraccional de energía mecánica debido a la colisión, esto es, la energía mecánica perdida dividida entre la energía mecánica inicial del sistema.

3.- Energía Cinética de Rotación

1. Una esfera sólida de masa $M$ y radio $R$ rueda por un plano inclinado de ángulo $\beta$ y coeficiente de roce estático $\mu_e$, desde una altura $h$ hasta llegar al suelo.

   

   Determine
   1. El trabajo de las fuerzas no conservativas sobre la esfera.
   2. La velocidad del centro de masa al llegar al suelo.
   3. La velocidad angular de la esfera al llegar al suelo.


2. Una esfera sólida de masa $m$ y radio $R$ que rueda con rapidez inicial $v_0$ choca elásticamente contra un cascarón esférico de la misma masa y radio. El cascarón rueda en la misma línea que la primera esfera con rapidez $2v_0$ pero en dirección contraria y tras la colisión ambas masas siguen rodando en la misma línea. Tras el impacto, determine
   1. La velocidad angular de cada esfera.
   2. El cambio de momentum angular.


3. La polea de la figura se puede considerar como un disco sólido de radio $R$ y masa $M$. Los bloques de masa $m_1=M$ y $m_2=2M$ se encuentran unidos mediante una cuerda sin masa que no resbala en la polea.

   

   El sistema parte del reposo y el bloque $m_2$ está inicialmente a una altura $h=8R$ sobre el suelo. Cuando el bloque $m_2$ llega al suelo, determine
   1. La velocidad angular de la polea.
   2. La velocidad del bloque $m_1$.

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Respuestas

1.- Torque

1. 1. $\vec \tau=3{,}7\,\mbf{N\cdot m}$ hacia el interior de la hoja (sentido horario).
   2. $\vec \alpha=15\,\mbf{rad/s^2}$ hacia el interior de la hoja.


2. 1. $\vec \tau_{M\vec g}=MgL/2$ hacia el interior de la hoja .
   2. $I_P=ML^2/3$.
   3. $\vec \alpha=\frac{3}{2}g/L$ hacia el interior de la hoja. $\vec a=\frac{3}{2}g$ hacia abajo.


3. 1. $\vec a=\frac{2m}{2m+M}\,g$ hacia abajo.
   2. $\vec \alpha=\frac{2m}{2m+M}\,\frac{g}{R}$ saliendo de la hoja.
   3. $T=\frac{mM}{2m+M}\,g$.


4. 1. $a=\frac{2}{11}\,g$. El bloque $m_1$ acelera hacia arriba.
   2. $T_1=\frac{26}{11}\, Mg$.
   3. $\vec \alpha=\frac{2}{11}\,g/R$ hacia el interior de la hoja.
   4. $T_2=\frac{27}{11}\, Mg$.


5. Suponiendo que el bloque $m_1$ acelera hacia abajo.
   1. $a=\frac{m_1-m_2}{R^2m_1+R^2m_2+2I}\,R^2g$.
   2. $T_1=2\frac{R^2m_2+I}{R^2m_1+R^2m_2+2I}\,m_1g$, $T_2=2\frac{R^2m_1+I}{R^2m_1+R^"m_2+2I}\,m_2g$, $T_3=\frac{2R^2m_1m_2+Im_1+Im_2}{R^2m_1+R^2m_2+2I}\,g$.
   3. $\vec \alpha=\frac{m_1-m_2}{R^2m_1+R^2m_2+2I}\,Rg$ saliendo de la hoja.


6. 1. $\sum \vec\tau=(0{,}39\,d-1{,}4)\,\mbf{kN\cdot m}$.
   2. $d=3{,}6\,\mbf m$.
   3. $\vec N=8{,}0\times 10^2\,\mbf{N}$.


7. 1. $\vec a=\frac{2}{3}\,g\sen\beta$ hacia abajo, paralelo al plano inclinado.
   2. $\vec F_r=\frac{1}{3}\,Mg\sen\beta$ hacia arriba, paralela al plano inclinado.
   3. $\mu_e=0{,}19$.

2.- Momentum Angular

1. 1. $\omega_f=\frac{3}{5}\,\omega_0$ en el mismo sentido que gira el disco grande.
   2. $\Delta K_r=-\frac{4}{5}\,Mr^2\omega_0^2$. Se pierden $4/5\,Mr^2\omega_0^2$ de energía cinética rotacional.


2. 1. $\omega_f=1{,}91\,\mbf{rad/s}$.
   2. $\Delta E=3{,}93\,\mbf J$. El sistema gana energía.


3. 1. $\vec L=mlv$ hacia abajo y perpendicular a la superficie horizontal.
   2. $\vec v_f=\frac{m}{m+M}\, v$ en la misma dirección que se movía inicialmente la bala.
   3. $\frac{\Delta K}{K_i}= -\frac{M}{m+M}$.


4. 1. $\omega=\frac{6m}{3m+M}\,\frac{v_i}{d}$.
   2. $\frac{\Delta K}{K_i}= -\frac{M}{3m+M}$.

3.- Energía Cinética de Rotación

1. 1. $W_\text{FNC}=0$.
   2. $\vec v=\sqrt{\frac{10}{7}\,gh}$ paralela al plano inclinado, hacia abajo.
   3. $\vec \omega =\frac{1}{R}\sqrt{\frac{10}{7}\,gh}$ entrando en la hoja.


2. Respecto de la dirección de la velocidad angular inicial de la esfera sólida $\hat\omega_0$
   1. $\vec \omega_\text{esfera}=-\frac{48}{23}\,\frac{v_0}{R}\,\hat\omega_0$ y $\vec \omega_\text{cascarón}=\frac{25}{23}\,\frac{v_0}{R}\,\hat\omega_0$.
   2. $\Delta \vec L=\frac{284}{345}\,mRv_0\,\hat\omega_0$


3. 1. $\vec \omega=\sqrt{\frac{96}{7}\,\frac{g}{R}}$ hacia el interior de la hoja.
   2. $\vec v=\sqrt{\frac{96}{7}\,gR}$ hacia arriba.