Mecánica: Magnitudes, unidades de medida y cifras significativas

Esta es la primera guía de ejercicios de Mecánica. Aquí deberás realizar conversiones de unidades, estimar ordenes de magnitud, calcular utilizando cifras significativas y notación científica, y obtener las unidades de medida de magnitudes utilizando análisis dimensional.

Uno de los formatos más populares de bebida gaseosa es la botella de dos litros ($2\,\mbf{L}\equiv 1\,000\,\mbf{cm^3}$), unidad emparentada con el Sistema Internacional (SI), sin embargo para el público anglosajón es común que la etiqueta incluya unidades del Sistema tradicional de los EE.UU. (USCS) o bien del antiguo Sistema Imperial Británico (BIS). En la imagen, dos botellas de bebida gaseosa de $2\,\mbf{L}$, también etiquetadas como $67{,}6\,\mbf{fl\,oz}$ ($67{,}6$ onzas líquidas de EE.UU.) y $2\,\mbf{qt}\ 3{,}6\,\mbf{fl\,oz}$ (dos cuartos de galón + $3{,}6$ onzas líquidas de los EE.UU.).
Creditos: Daniel Case bajo licencia CC BY-SA 3.0.

Índice

1. Unidades de medida, orden de magnitud y cifras significativas
2. Análisis dimensional
3. Constantes, datos y factores de conversión
4. Respuestas

Unidades de medida, orden de magnitud y cifras significativas

1. Transforme las siguientes cantidades al Sistema Internacional

   Indicación: Utilice los factores de conversión dados en la sección de Constantes, datos y factores de conversión.

   1. Area de una mesa: $2\,065\,\mathbf{in^2}$ (pulgadas cuadradas).
   2. Masa de un paquete de galletas: $28\,\mathbf{oz}$ (onzas).
   3. Rapidez del sonido: $1\,235\,\mathbf{km/h}$.
   4. Rapidez del F-16: $2{,}2\,\mathbf{Mach}$. ($1\,\mathbf{Mach}\equiv$ rapidez del sonido).
   5. Rapidez promedio de Usain Bolt en los $200\,\mbf m$: $37{,}52\,\mbf{km/h}$.
   6. Rapidez del Monitor Huascar: $12{,}5$ knot (nudos). El nudo se define como una milla náutica por hora $\left(1\,\mathbf{knot}\equiv 1\,\mathbf{nmi/h}\right)$.
   7. Ancho de Oeste a Este desde el mar, de la Capitanía General de Chile fijada por Carlos I en 1522: $100\,\mathbf{lea}$ (leguas).
   8. Aceleración de gravedad: $32{,}2\,\mbf{ft/s^2}$.
   9. Masa de un hombre promedio: $165\,\mbf{lb_m}$.
   10. Hilo de volantín contenido en un pequeño carrete: $125\,\mbf{yd}$.
   11. Densidad del mercurio: $13{,}58\,\mbf{g/cm^3}$ (en $\mbf{kg/m^3}$).
2. Determine la cantidad de cifras significativas de las siguientes cantidades
   1. $23\,\mbf{cm}$.
   2. $0{,}058\,64\,\mbf{s}$.
   3. $150{,}500\times 10^{-9}\,\mbf{C}$.
   4. $0{,}87\times 10^2\,\mbf{m/s}$.
   5. $0{,}000\,10\,\mbf{kg}$.
3. Determine el orden de magnitud de las siguientes cantidades
   1. $999\,\mbf{Mg}$.
   2. $0{,}58\,\mbf{mm}$.
   3. $31\times 10^{4}\, \mbf{Hz}$.
   4. $0{,}018\times 10^{-1}\, \mbf{N}$.
   5. $671\times 10^2\, \mb\mu\mbf{m}$.
4. Utilizando cifras significativas y notación científica calcule las siguientes cantidades.
   1. El área de una mesa rectangular cuyos lados miden $1{,}850\times 10^2\,\mbf{cm}$ y $9{,}18\times 10\,\mbf{cm}$.
   2. El perímetro de una mesa rectangular cuyos lados miden $1{,}657\times 10^2\,\mbf{cm}$ y $7{,}1837\times 10\,\mbf{cm}$.
   3. La rapidez media se define como: $v_m:=d/t$, donde $d$ es la distancia recorrida y $t$ el tiempo que se demora en recorrer esa distancia. Calcule la rapidez media, en unidades del SI, de un automóvil que viaja desde Concepción a Santiago ($515\,\mbf{km}$) y tarda $5{,}5$ horas.
5. En su forma metálica el osmio es el elemento natural más denso. Considere un bloque de este metal que mide $5{,}05\,\mbf{in}$ de largo, $4{,}567\,\mbf{in}$ de ancho y $1{,}62\,\mbf{in}$ de alto. La masa de este bloque es $488{,}89\,\mbf{oz}$. Utilizando cifras significativas y notación científica en cada operación:
   1. Transforme la masa a unidades del SI (Sistema Internacional).
   2. Obtenga el volumen del bloque en $\mbf{in^3}$.
   3. Transforme el volumen obtenido en el item anterior a unidades SI.
   4. Calcule la densidad del osmio en unidades SI.
   5. ¿Cuánto medirá la masa de un bloque de osmio cuyo volumen es $25{,}0\,\mbf{cm^3}$

   Indicación: Utilice los factores de conversión dados en la sección de Constantes, datos y factores de conversión.

Análisis dimensional

1. Considere la Ley de Hooke que describe la fuerza que ejercen los resortes \begin{equation*} F_e=k x \end{equation*} donde $F_e$ es la fuerza elástica medida en $\mbf{kg\,m/s^2}$, $x$ es la distancia que se ha estirado el resorte y $k$ la constante elástica del resorte. Determine
   1. La ecuación dimensional de $k$.
   2. Las unidades de medida de la constante $k$ en el SI.
2. La energía $E$ de un fotón es dada en términos de la longitud de onda $\lambda$, la rapidez de la luz $c$ y la constante de Planck $h$ como \begin{equation*} E=\frac{hc}{\lambda} \end{equation*} Si la ecuación dimensional de la energía es \begin{equation*} [E]=\frac{ML^2}{T^2}. \end{equation*} Obtenga
   1. La ecuación dimensional de la constante de Planck.
   2. Las unidades de medida de la constante de Planck en el SI.
3. Determine la ecuación dimensional de las constantes $a$, $b$ y $c$ a partir de la siguiente expresión \begin{equation*} d=a+bt+\frac{1}{2}ct^2 \end{equation*} donde $d$ se mide en metros y $t$ en segundos.

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Constantes, datos y factores de conversión

• $1\,\mbf{ft}\equiv 12\,\mbf{in}\equiv 30{,}48\,\mbf{cm}$.
• $1\,\mbf{yd}\equiv 3\,\mbf{ft}$.
• $1\,\mbf{mi}\equiv 5\,280\,\mbf{ft}$.
• $1\,\mbf{lea}\equiv 3\,\mbf{mi}$.
• $1\,\mbf{nmi}\equiv 1{,}852\,\bf{km}$.
• $1\,\mbf{lb_m}\equiv 16\,\mbf{oz}= 453{,}6\,\mbf g$.

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Respuestas

Unidades de medida, orden de magnitud y cifras significativas

1. Resultados usando cifras significativas
   1. $1{,}332\, \mbf{m^2}$
   2. $0{,}79\, \mbf{kg}$
   3. $343{,}1\, \mbf{m/s}$
   4. $7{,}5\times 10^2\, \mbf{m/s}$
   5. $10{,}42\, \mbf{m/s}$
   6. $6{,}43\, \mbf{m/s}$
   7. $483\, \mbf{km}=4.83\times 10^5\, \mbf{m}$
   8. $9{,}81\, \mbf{m/s^2}$
   9. $74{,}8\, \mbf{kg}$
   10. $114\, \mbf m$
   11. $1{,}358\times 10^4\, \mbf{kg/m^3}$
2. 1. 2.
   2. 4.
   3. 6.
   4. 2.
   5. 2.
3. 1. $10^3\,\mbf{Mg}=10^{9}\, \mbf{g}$
   2. $10^0\,\mbf{mm}=10^{-3}\, \mbf m$
   3. $10^5\, \mbf{Hz}$
   4. $10^{-3}\, \mbf N$
   5. $10^5\, \mb\mu\mbf m=10^{-1}\,\mbf m$
4. 1. $A=1{,}70\times 10^4\,\mbf{cm^2}=1{,}70\,\mbf{m^2}$
   2. $P=4{,}751\times 10^2\,\mbf{cm}=4{,}751\,\mbf m$
   3. $v_m=9{,}4\times 10\,\mbf{km/h}=2{,}6\times 10\,\mbf{m/s}$
5. 1. $1{,}3860\times 10\,\mbf{kg}$
   2. $3{,}74\times 10\,\mbf{in^3}$
   3. $6{,}13\times 10^{-4}\,\mbf{m^3}$
   4. $2{,}26\times 10^4\,\mbf{kg/m^3}$

Análisis dimensional

1. 1. $[k]=MT^{-2}$
   2. $\mbf{kg/s^2}$
2. 1. $[h]=ML^2T^{-1}$
   2. $\mbf{kg\,m^2/s}$
3. $[a]=L$, $[b]=L/T=LT^{-1}$, $[c]=L/T^2=LT^{-2}$