Guía 03: Ecuación general de la estática de fluidos

A continuación es el turno de resolver problemas sobre la Ecuación general de la estática de fluidos, la ecuación que describe la variación de la presión en un fluido ubicado en una región con campo gravitacional no nulo. Deberás encontrar la presión en fluidos e interfases entre fluidos a distintas profundidades.

Un submarino es una embarcación diseñada para navegar bajo la superficie del agua. Su casco debe resistir presiones gigantescas producto del aumento de la presión con la profundidad. En la imagen, el Submarino General Carrera (SS-22) de la Armada de Chile.
Creditos: Wikimedia Commons bajo licencia CC BY-SA 4.0.

Índice

1. Presión
2. Constantes, datos y factores de conversión
3. Respuestas

Presión

1. Encuentre la presión en un punto ubicado $150\, \mt{m}$ debajo de la superficie del mar. Considere que la densidad del agua de mar es uniforme y de valor igual a $1{,}03\times 10^3\, \mt{kg/m^3}$.
2. Un experimentador desea determinar la densidad de una muestra de aceite que ha extraído de una planta. Para esto, vierte un poco de agua con colorante en el interior de un tubo en «U», abierto en ambos extremos. El colorante disuelto en el agua es solo para observar claramente el líquido. Después, vierte sobre el agua una pequeña cantidad de la muestra de aceite en el lado derecho del tubo y mide las alturas $h_1$ y $h_2$, según como se muestra en la figura.

   

   ¿Cuál es la densidad del aceite en términos de la densidad del agua $\rho_{_{\ce{H2O}}}$ y de las alturas $h_1$ y $h_2$?
3. En unos vasos comunicantes hay agua y xileno ($\ce{C6H4(CH3)2}$). La altura de la columna de agua sobre la interfase con el xileno es $h = 2{,}00\,\mt{cm}$. Calcule
   1. La altura de la columna de xileno $h_\text{x}$.
   2. La altura de la columna de pentano ($\ce{C5H12}$) $h_\text{p}$ que se debe añadir por la rama de agua para que el nivel de ésta sea el mismo a cada lado del tubo.

   

   Indicación: Utilice los datos del agua, xileno y pentano dados en la sección de datos.

4. En el sistema mostrado en la figura, la densidad relativa del aceite es $0{,}900$.

   

   Determine la presión en los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$.

   Indicación: Aproxime la densidad del agua con su valor a $4{,}0^\circ\mt C$ (ver sección de datos).

5. El manómetro de la figura, tiene en su bulbo un gas, en sus asas inferiores un líquido de densidad $\rho_l$ y otro gas de densidad $\rho_g$ en sus asas superiores.

   

   Obtenga
   1. La presión en $A$.
   2. La presión $p$ del gas en el bulbo.
6. Dos vasos A y B contienen agua en equilibrio. El vaso A tiene una base de $0{,}300\,\mt{in^2}$ y contiene agua hasta $4{,}00\,\mt{in}$ de altura. El B, tiene una base de $0{,}600\,\mt{in}$ y la altura de agua es de $2{,}00\, \mt{in}$. Determine
   1. La presión debida al peso del agua en cada vaso a $1{,}60\,\mt{in}$ de profundidad.
   2. La presión generada por el agua en el fondo de cada vaso.

   Indicación: Considere agua a $4{,}0^\circ\mt C$.

7. El tubo de la figura está cerrado por el extremo de la ampolla y abierto en el otro, y tiene mercurio alojado en las dos asas inferiores. Los números indican las alturas en milímetros. Considere que la presión atmosférica es de $760\,\mt{mmHg}$ y desprecie las diferencias de presión con la altura en los cuerpos gaseosos.

   

   ¿Cuánto vale la presión en el interior de la ampolla del extremo cerrado?

   Indicación: La densidad relativa del mercurio es dada en la sección de datos.

8. Se presuriza el agua que está en un tanque mediante aire y se mide la presión con un manómetro de fluidos múltiples.

   

   Determine la presión manométrica del aire en el tanque si $h_1 = 0{,}65\,\mt{ft}$, $h_2 =1{,}00\,\mt{ft}$, y $h_3 = 1{,}50\,\mt{ft}$.

   Indicación: Considere que los pesos específicos del agua, mercurio y petróleo (crudo) son $62{,}4\,\mt{lb/ft^3}$, $848\,\mt{lb/ft^3}$ y $52{,}9\,\mt{lb/ft^3}$, respectivamente.

9. El barómetro de un montañista da una lectura de $930\,\mt{mbar}$ (milibar) al principio de una caminata y de $780\,\mt{mbar}$ al final de ella. Determine la distancia vertical que ha escalado, suponiendo que la densidad promedio del aire es $1{,}20\,\mt{kg/m^3}$ y despreciando el efecto de la altitud sobre la aceleración de gravedad local.
10. Un gas está contenido en un dispositivo de cilindro y émbolo en posición vertical. El émbolo tiene una masa $m_e=4{,}0\,\mt{kg}$ y un área de la sección transversal $A=35\,\mt{cm^2}$. Un resorte comprimido arriba del émbolo ejerce una fuerza de $60\,\mt N$ sobre éste.

    

    Si la presión atmosférica es de $95\,\mt{kPa}$, determine la presión en el interior del cilindro.
11. Considere un tubo en «U» lleno con mercurio ($\ce{Hg}$), excepto la parte de $18.0\,\mbf{cm}$ de alto de arriba. El diámetro de la rama derecha del tubo es $D = 2{,}0\,\mbf{cm}$ y el de la izquierda es el doble del de la derecha.

    Se vierte aceite con densidad relativa de $2{,}72$ en la rama izquierda, forzando a que algo del mercurio de la rama izquierda entre a la derecha.

    

    Determine la cantidad máxima de aceite que se puede agregar en la rama izquierda.

    Indicación: Utilice la densidad relativa del mercurio dada en los datos de la guía.

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Constantes, datos y factores de conversión

• Aceleración de gravedad estándar
  $g=9{,}81\,\mt{m/s^2}= 32{,}2\,\mt{ft/s^2}$.
• Densidad del agua a $4{,}0^{\circ}\mt C$
  $\rho_{_{\ce{H2O}}}^{4{,}0^{\circ}\mt C}=1{,}000\times 10^3\,\mt{kg/m^3}=62{,}4\,\mt{lb_m/ft^3}$.
• Peso específico del agua a $70{,}0^{\circ}\mt F$
  $\gamma_{_{\ce{H2O}}}^{70{,}0^{\circ}\mt F}=62{,}30\,\mt{lb/ft^3}$.
• Densidad relativa del alcohol etílico a $20{,}0^{\circ}\mt C$
  $\mt{DR}_{_\mt{etanol}}=0{,}789$.
• Densidad del aceite de soja a $4{,}0^{\circ}\mt C$
  $\rho_{_\text{aceite}}^{4{,}0^{\circ}\mt C}=930{,}8\,\mt{kg/m^3}$.
• Densidad relativa del mercurio
  $\text{DR}_{\ce{Hg}}=13{,}59$.
• Densidad del xileno $\ce{C6H4(CH3)2}$
  $\rho_{_\text{xileno}}=865\ \mt{kg/m^3}$.
• Peso específico del pentano $\ce{C5H12}$
  $\gamma_{_\text{pentano}}=6{,}14\times 10^3\ \mt{N/m^3}$.
• Presión atmosférica estándar
  $p_\text{atm}\equiv 1\,\mt{atm}\equiv 101\,325\,\mt{Pa}=2\,116{,}2\,\mt{lb/ft^2}=14{,}696\,\mt{psi}$.
• $1\,\mt{ft}\equiv 30{,}48\,\mt{cm}\equiv 12\,\mt{in}$.
• $1\,\mt{lb_f}\equiv 1\,\mt{lb_m}\times g=4{,}448\,\mt N $.
• $1\,\mt{slug}\equiv 1\,\mt{\frac{lb_f}{ft/s^2}}= 32{,}2\,\mt{lb_m}$.
• $1\,\mt{lb_m}= 453{,}6\,\mt g$.
• $1\,\mt{bar}\equiv 10^5\,\mt{Pa}=2\,088{,}5\ \mt{lb/ft^2}=14{,}504\ \mt{psi}$.

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Respuestas

Presión

1. $p_\text{man}=1{,}52\,\mt{MPa}=1{,}52\times 10^6\,\mt{Pa}$, $p=1{,}62\,\mt{MPa}=1{,}62\times 10^6\,\mt{Pa}$
2. $\rho_\text{aceite}=\rho_{_{\ce{H2O}}}\frac{h_1}{h_2}$.
3. 1. $h_{\text{x}}=2{,}31\,\mt{cm}$.
   2. $h_{\text{p}}=3{,}19\,\mt{cm}$.
4. $p_{_A}^\text{vac}=150\,\mt{lb_f/ft^2}$; $p_{_A}=1\,966\,\mt{lb_f/ft^2}$
   $p_{_B}^\text{man}=150\,\mt{lb_f/ft^2}$; $p_{_B}=2\,266\,\mt{lb_f/ft^2}$
   $p_{_C}^\text{man}=150\,\mt{lb_f/ft^2}$; $p_{_C}=2\,266\,\mt{lb_f/ft^2}$
   $p_{_D}^\text{man}=487\,\mt{lb_f/ft^2}$; $p_{_D}=2\,603\,\mt{lb_f/ft^2}$.
5. 1. $p_{A}^\text{man}=\rho_l\,g h$.
   2. $p_\text{gas}^\text{man}=3\rho_l\,g h$.
6. 1. $p^\text{man}_\text{A}=p^\text{man}_\text{B}=8{,}32\,\mt{lb_f/ft^2}$.
   2. $p^\text{man}_\text{A}=20{,}8\,\mt{lb_f/ft^2}$ y $p^\text{man}_\text{B}=10{,}4\,\mt{lb_f/ft^2}$.
7. $p^\text{vac}=110\,\mt{mmHg}=14{,}7\,\mt{kPa}$ y $p=650\,\mt{mmHg}=86{,}7\,\mt{kPa}$.
8. $p^\text{man}=1{,}18\times 10^3\,\mt{\frac{lb}{ft^2}}=8{,}18\,\mt{psi}$.
9. $\Delta h=1{,}274\,\mt{m}=1{,}27\,\mt{km}$.
10. $p_\text{gas}=123\,\mt{kPa}=1{,}23\,\mt{bar}$.
11. $V=236\,\mt{cm^3}=0.24\,\mt{l}=2{,}4\times 10^{-4}\,\mt{m^3}$.