Guía 03: Ley de Gauss

La siguiente es una guía de ejercicios y problemas relacionados a la ley de Gauss. Deberás obtener el flujo eléctrico en algunos sencillos casos, y calcular el campo eléctrico de distribuciones de carga con alta simetría.

La cabeza de la niña genera un campo eléctrico a su alrededor producto de la carga recibida del generador de Van der Graaff. Podemos imaginar que el cabello de la niña muestra las líneas de campo eléctrico a su alrededor. Si este fuera el caso, este campo muestra simetría esférica de modo que se puede calcular con la Ley de Gauss.

Índice

1. Flujo eléctrico
2. Ley de Gauss
3. Respuestas

Flujo eléctrico

1. En la figura se muestra un agujero de radio $R=0{,}25\,\mbf{m}$ que puede rotar en el espacio y un campo el eléctrico uniforme $\vec E$, de magnitud $E =20\,\mbf{\frac{N}{C}}$ . Si los ángulos son $\alpha=30^\circ$ y $\beta=150^\circ$, determine el flujo eléctrico $\Phi_E$ que atraviesa el agujero en cada situación.

   1. 

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   4. 

   5. 

2. El cubo de arista $a=0{,}20\,\mbf m$ de la figura, está ubicado en una región donde el campo eléctrico es uniforme y cuyo valor es $\vec E=(4{,}0\,\hat\imath+3{,}0\,\hat\jmath)\,\mbf{\frac{N}{C}}$. Determine
   1. El vector normal orientado hacia afuera de cada cara del cubo.
   2. El flujo de campo eléctrico a través de cada cara del cubo.
   3. El flujo eléctrico a través de todo el cubo.

   

3. Considere un dipolo eléctrico, es decir, una carga positiva $+q$ ubicada en la posición $\vec r_+=-a/2\,\hat k$ y una segunda carga con la misma magnitud pero de signo opuesto en $\vec r_-=a/2\,\hat k$. Obtenga
   1. El campo eléctrico en todo punto del plano $xy$.
   2. El flujo de campo eléctrico que atraviesa un disco de radio $a$ ubicado en el plano $xy$ centrado en el origen cuyo vector normal es $\hat n=+\hat k$.

   Indicación: En un dipolo eléctrico, el vector que apunta desde la carga negativa a la carga positiva, cuyo módulo es la carga por la distancia de separación se denomina momento dipolar $\vec p$. En este problema $\vec p=-qa\,\hat k$.

Ley de Gauss

1. Una carga puntual $q=1{,}84\,\mbf{\mu C}$ se ubica en el centro de un cubo cuya arista mide $a=15{,}0\,\mbf{cm}$. Determine
   1. El flujo eléctrico total sobre la superficie del cubo.
   2. El flujo eléctrico a través de cada cara del cubo. Considere la simetría del problema.
2. Una esfera conductora de radio $r=1{,}22\,\mbf m$ tiene una densidad de carga superficial uniforme $\sigma=8{,}13\,\mbf{\mu C/m^2}$. Determine
   1. La carga en la esfera.
   2. El flujo eléctrico total que sale de la superficie de la esfera.
   3. El campo eléctrico en la superficie de la esfera.
3. Una esfera conductora de radio $R$ tiene una carga $Q$. Determine el campo eléctrico en el interior y en el exterior de la esfera.
4. Una esfera sólida dieléctrica (aislante) de radio $R$ tiene una carga $Q$ uniformemente distribuida. Calcule
   1. La densidad volumétrica de carga $\rho$ de la esfera.
   2. El campo eléctrico en la región interior de la esfera.
   3. El campo eléctrico en la región exterior.
5. Obtenga el campo eléctrico en todo el espacio debido a un plano infinito con densidad superficial de carga uniforme $\sigma$. Considere que el plano cargado se corresponde con el plano $xy$.

   Comentario: Por razones obvias es imposible realizar esta configuración, pero en muchas situaciones, para puntos cerca de la zona central de una placa cargada, ésta es una muy buena aproximación.

6. Determine el campo eléctrico a una distancia $r$ de un alambre infinito cuya densidad de carga lineal $\lambda$ es uniforme.

   Comentario: En muchas situaciones reales ésta resulta ser una excelente aproximación.

7. En el origen de un sistema de referencia se ubica una esfera dieléctrica de carga $+q$ y radio $a$. La esfera dieléctrica se encuentra en el interior de una esfera conductora hueca concéntrica de radio interior $b$ y radio exterior $c$. La esfera conductora tiene una carga de $-3q$.

   

   Obtenga
   1. El campo eléctrico en el interior de la esfera dieléctrica ($r \leq a$).
   2. El campo eléctrico entre las esferas ($a < r\leq b$).
   3. El campo eléctrico en la esfera conductora ($b < r\leq c$).
   4. Las cargas que aparecen en la superficie interna y externa de la esfera conductora.
   5. El campo eléctrico fuera de las esferas ($r > c$).
8. Un condensador cilíndrico está formado por dos cilindros conductores coaxiales de largo $L$, uno interior de radio $a$ y carga $+q$ y el otro exterior de radio $b$ ($a < b$) y de carga opuesta $-q$.

   

   Considerando que el condensador es «largo» (muy largo), determine
   1. La densidad superficial de carga $\sigma_\text{in}$ y $\sigma_\text{ex}$ de cada cilindro.
   2. El campo eléctrico en el interior del cilindro de radio $a$.
   3. El campo eléctrico entre los cilindros.
   4. El campo eléctrico en la región exterior.

   Indicación: Coaxial, que comparte el mismo eje de simetría.

Respuestas

Flujo eléctrico

1. 1. $3{,}9\,\mbf{Nm^2/C}$.
   2. $3{,}4\,\mbf{Nm^2/C}$.
   3. $0{,}0\,\mbf{Nm^2/C}$.
   4. $-3{,}4\,\mbf{Nm^2/C}$.
   5. $-3{,}9\,\mbf{Nm^2/C}$.
2. 1. Para las caras contenidas en los planos $xy$, $yz$ y $zx$ es $\hat n=-\hat k$,$\hat n=-\hat\imath$ y $\hat n=-\hat\jmath$, respectivamente.
      Para las caras paralelas a cada plano (no contenidas), $xy$, $yz$ y $zx$, se tiene $\hat n=\hat k$, $\hat n=\hat\imath$ y $\hat n=\hat\jmath$.
   2. El flujo a través de las caras contenidas en los planos $xy$, $yz$ y $zx$ es $0{,}00\,\mbf{Nm^2/C}$, $-0{,}16\,\mbf{Nm^2/C}$ y $-0{,}12\,\mbf{Nm^2/C}$, respectivamente.
      El flujo a través de las caras paralelas a los planos (no contenidas) $xy$, $yz$ y $zx$ es $0{,}00\,\mbf{Nm^2/C}$, $0{,}16\,\mbf{Nm^2/C}$ y $0{,}12\,\mbf{Nm^2/C}$.
   3. $0{,}00\,\mbf{Nm^2/C}$.
3. 1. $\vec{E}(x,y)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{qa\,\hat k}{\left(x^2+y^2+(a/2)^2\right)^{3/2}}$.
   2. $\Phi_E=\frac{q}{\epsilon_0}\left(1-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$.

Ley de Gauss

1. 1. $\Phi_E=2{,}03\times10^5\,\mbf{Nm^2/C}$.
   2. $\Phi_E=3{,}38\times10^4\,\mbf{Nm^2/C}$.
2. 1. $Q=1{,}52\,\mbf{\mu C}$.
   2. $\Phi_E=1{,}72\times10^5\,\mbf{Nm^2/C}$.
   3. $E=9{,}20\,\mbf{kN/C}$ radialmente hacia afuera.
3. $E_\text{int}=0$, $E_\text{ext}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}$ radialmente hacia afuera.
4. 1. $\rho=\frac{3Q}{4\pi R^3}$.
   2. $E(r < R)=\frac{\rho r}{3\epsilon_0}$ radial hacia afuera.
   3. $E(r\geq R)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}$ radial hacia afuera.
5. $\vec E=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\,\hat k$.
6. $E=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0r}$ alejándose del alambre.
7. El campo eléctrico es radial
   1. $\vec E(r\leq a)=\frac{+q}{4\pi\epsilon_0 }\frac{r}{R^3}\hat r$.
   2. $\vec E(a < r\leq b)=\frac{+q}{4\pi\epsilon_0 }\frac{1}{r^2}\hat r$.
   3. $\vec E(b < r\leq c)=0$, interior de un conductor.
   4. $q_\text{int}=-q$ y $q_\text{ext}=-2q$.
   5. $\vec E(r > c)=\frac{-2q}{4\pi\epsilon_0 }\frac{1}{r^2}\hat r$.
8. 1. $\sigma_\text{in}=\frac{q}{2\pi a L}$, $\sigma_\text{ex}=-\frac{q}{2\pi bL}$.
   2. $\vec E(\rho < a)=0$.
   3. $\vec E(a < \rho < b)=\frac{1}{2\pi \epsilon_0}\frac{q}{L\rho }\,\hat \rho$.
   4. $\vec E(\rho > b)=0$.
   donde $\rho$ es la distancia al eje del cilindro.