Guía 04: Potencial eléctrico

Ahora es el turno de estudiar problemas sobre el potencial eléctrico debido a cargas eléctricas puntuales. Deberás encontrar el potencial que genera una distribución de carga utilizando el potencial de una carga puntual o bien la definición, la energía de las cargas puestas en esos potenciales y el campo eléctrico en una región con potencial.

Un rayo es una descarga brutal de la carga eléctrica almacenada en la nubes de las tormentas. En la imagen se observa un rayo nube-tierra. La diferencia de potencial eléctrico entre las nubes y la superficie de la Tierra justo antes de la descarga alcanza típicamente el orden de los miles de $\mbf{MV}$ (miles de millones de volts).
Creditos: David Ben David bajo licencia CC BY 3.0.

Índice

1. Potencial eléctrico de cargas puntuales
2. Potencial eléctrico de distribuciones continuas de carga
3. Campo eléctrico a partir del potencial
4. Respuestas

Potencial eléctrico de cargas puntuales

1. La carga eléctrica de un protón es $e=1{,}60\times 10^{-19}\,\mbf C$. Determine
   1. El potencial eléctrico a una distancia de $1{,}00\,\mbf{cm}$ de un protón.
   2. La diferencia de potencial entre dos puntos que se encuentran a $2{,}00\,\mbf{cm}$ y $3{,}00\,\mbf{cm}$, de un protón.
2. Considere dos partículas de carga $Q=2{,}00\,\mbf{mC}$ que se ubican en el eje $x$. Una está en $x=1{,}00\,\mbf m$, y la otra en $x=-1{,}00\,\mbf m$. Obtenga
   1. El potencial eléctrico en todo punto del eje $y$.
   2. El cambio de energía potencial eléctrica de una carga $q=-3{,}00\,\mbf{\mu C}$ al ser traída desde muy lejos hasta el punto $y=0{,}500\,\mbf m$ sobre el eje $y$.
3. Una carga $Q=50{,}0\,\mbf{\mu C}$ se ubica fija en el origen del sistema de referencia. Determine
   1. La energía potencial eléctrica de una carga $q=0{,}60\,\mbf{\mu C}$ ubicada en $\vec r=0{,}35\,\hat\imath\,\mbf{m}$.
   A continuación, suponga que la carga $q$ se deja libre a partir del resposo en $\vec r=0{,}35\,\hat\imath\,\mbf{m}$. Obtenga
   2. La rapidez de la carga $q$ cuando está en $r=2{,}0\,\hat\jmath\,\mbf m$, si su masa es $m_q=1{,}5\,\mbf{mg}$.
4. Considere una carga $q$ positiva ubicada en el origen de un sistema de coordenadas ($\vec r_1=0$)
   1. Calcule el potencial eléctrico que produce esta carga en todo el espacio.
   2. Determine el trabajo necesario para traer una segunda carga negativa $-q$ desde infinito hasta la posición $\vec r_2=a\hat\imath$.
   3. Calcule el potencial eléctrico que producen ambas cargas en todo el espacio.
   4. Obtenga el trabajo necesario para traer una tercera carga positiva $+2q$ desde infinito hasta la posición $\vec r_3=a\hat\jmath$.
   5. Determine el potencial eléctrico que producen las tres cargas en todo el espacio.
   6. Calcule el trabajo necesario para traer una cuarta carga negativa $-2q$ desde infinito hasta la posición $\vec r_4=a\hat\imath+a\hat\jmath$.
   7. ¿Cuánto trabajo se necesitó para armar el sistema de cuatro cargas? ¿Cuál es la energía potencial eléctrica del sistema?

Potencial eléctrico de distribuciones continuas de carga

1. Una tira de plástico de largo $2L$ y carga $+Q$ uniformemente distribuida, se ubica en un sistema de referencia como el que muestra la figura.

   

   Una carga $q=Q/2$ es puesta en la posición $\vec r_{q}=\frac{L}{2}\,\hat\jmath$. Determine
   1. El potencial eléctrico producido por la varilla en todo punto del eje $y$.
   2. La energía potencial eléctrica de la carga $q$.
2. El disco de radio $R$ de la figura, se encuentra cargado de manera uniforme con carga $Q$.

   

   Obtenga
   1. El potencial eléctrico en cualquier punto del eje $z$.

   Indicación: Utilice coordenadas cilíndricas (polares en el plano $xy$).

3. Una distribución de carga con simetría esférica tiene radio $R$ y carga total $Q$ dentro de todo su volumen. El campo eléctrico en todo el espacio es dado por la siguiente expresión: $$\begin{equation*} \vec E(\vec r)=\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Qr^3}{R^5}\hat r&,\,r < R\\\\ \displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}\hat r&,\,r > R \end{array} \right. \end{equation*}$$ Determine
   1. El potencial eléctrico en la región exterior.
   2. El potencial eléctrico dentro de la esfera.
4. Calcule la diferencia de potencial entre dos cascarones esféricos concéntricos de radios $a$ y $b$ ($a < b$) que tienen cargas $q$ y $Q$ respectivamente.

   Indicación 1: Cuando hablamos de un cascarón nos referimos a un espesor despreciable.

   Indicación 2: Obtenga primero el campo eléctrico en la región entre los cascarones utilizando la ley de Gauss.

5. Una esfera conductora hueca de radio interior $a$ y radio exterior $b$, tiene una carga $+2q$. En su centro se ubica una carga puntual $-3q$. Obtenga
   1. El potencial eléctrico en todo el espacio.
   2. El voltaje entre el radio interior y el radio exterior de la esfera.

   Sugerencia: Obtenga primero el campo eléctrico en en todo el universo utilizando la ley de Gauss.

6. El campo eléctrico en el interior de una esfera sólida no conductora de radio $R$ con carga $Q$ uniformemente distribuida, está dirigido radialmente y tiene una magnitud de (¡Demuéstrelo!) $$\begin{equation*} E(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{_{0}}}\frac{Qr}{R^3} \end{equation*}$$ donde $r$ es la distancia desde el centro de la esfera. Obtenga
   1. El potencial $\phi(r)$ en la región interior de la esfera, considerando que $\phi=0$ en $r=0$.
   2. La diferencia de potencial eléctrico entre un punto de la superficie y el centro de la esfera? Si $Q$ es positiva ¿Qué punto está al potencial más elevado?
   A continuación considere que el potencial es nulo en infinito
   3. Demuestre que el potencial a una distancia $r$ del centro, donde $r < R$, es dado por $$\begin{equation*} \phi(r)=\frac{q(3R^2-r^2)}{8\pi\epsilon_{_{0}}R^3} \end{equation*}$$ ¿Por qué este resultado es diferente del obtenido en la parte $a)$?

   Indicación: Recuerde que solo se puede conocer la diferencia de potencial entre dos puntos. Para fijar el potencial es necesario entregar una condición de borde , es decir, entregar el valor del potencial en algún lugar, como se hace en este ejercicio. En general se fija el potencial nulo en infinito, potencial conocido como potencial absoluto.

   Sugerencia: Calcule el campo eléctrico en la región exterior $r > R$.

Campo eléctrico a partir del potencial

1. El potencial en una región entre $x=0{,}00\,\mbf m$ y $x=6{,}00\,\mbf m$ es $\phi=a+bx$, donde $a=10{,}0\,\mbf V$ y $b=-7{,}00\,\mbf{V/m}$. Determine
   1. El potencial en $x_1=0{,}00\,\mbf m$, $x_2=3{,}00\,\mbf m$ y $x_3=6{,}00\,\mbf m$.
   2. La magnitud y dirección del campo eléctrico en $x_1$, $x_2$ y $x_3$.
2. El potencial eléctrico $\phi$ en el espacio entre las placas de cierto tubo al vacío, está dado por $\phi=1{,}53\,x^2$, donde $\phi$ se mide en $\mbf{kV}$ y $x$ es la distancia en metros medida desde una de las placas. Calcule la magnitud y la dirección del campo eléctrico en $x=1{,}28\,\mbf{cm}$.
3. En cierta región del espacio, el potencial eléctrico es $\phi=5x-3x^2y+2yz^2$. Determine
   1. El campo eléctrico $\vec E(x,y,z)$ en esa región.
   2. La magnitud del campo eléctrico en el punto $P$ de coordenadas $(1,0,-2)\,\mbf{m}$.
4. El potencial eléctrico debido a cierta distribución de carga con simetría esférica es dado por $$\begin{equation*} \phi(r)=\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{2R^3}\left(R^2-r^2\right)&,\,r < R\\ \displaystyle \frac{1}{4\pi\epsilon_0}Q\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\right)&,\,R < r < 2R\\ \displaystyle -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r}&,\,r > 2R \end{array}\right. \end{equation*}$$ donde $Q$ es una constante con unidades de carga eléctrica y $R$ es una constante con unidades de longitud. Determine
   1. El campo eléctrico en todo el espacio.
   2. ¿Cómo es la distribución de carga que produce este campo?

   Indicación: El gradiente de una función escalar, en coordenadas esféricas es $$\begin{equation*} \nabla F(r,\theta,\phi):=\frac{\partial\,}{\partial r}F(r,\theta,\phi)\,\hat r+\frac{1}{r}\frac{\partial\,}{\partial \theta}F(r,\theta,\phi)\,\hat \theta+\frac{1}{r\sen\theta}\frac{\partial\,}{\partial \phi}F(r,\theta,\phi)\,\hat \phi\,. \end{equation*}$$

5. El siguiente gráfico muestra el potencial eléctrico en función de $x$ en una región del espacio.

   

   Obtenga el campo eléctrico en cada intervalo recto ¿Es posible calcular el campo eléctrico en los puntos $a$, $b$, $c$, etc.? ¿Por qué?

Respuestas

Potencial eléctrico de cargas puntuales

1. 1. $\phi=144\,\mbf{nV}=1{,}44\times 10^{-7}\,\mbf V$
   2. $|\Delta \phi|=24{,}0\,\mbf{nV}=2{,}40\times 10^{-8}\,\mbf V$
2. 1. $\phi(y)=\frac{36{,}0}{\sqrt{1{,}00+y^2}}\,\mbf{MV}=\frac{3{,}60\times 10^{7}}{\sqrt{1{,}00+y^2}}\, \mbf V$
   2. $\Delta U_E=-96{,}6\,\mbf J$. Disminuyó la energía potencial eléctrica.
3. 1. $U_E=0{,}77\,\mbf{J}$
   2. $v=29\,\mbf{m/s}$
4. Considere $\vec r=x\hat\imath+y\hat\jmath+z\hat k$.
   1. $\phi_{_1}(\vec r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r}$
   2. $W_2=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q^2}{a}$
   3. $\phi_{_{12}}(\vec r)=\phi_{_1}(\vec r)-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{\sqrt{(x-a)^2+y^2+z^2}}$
   4. $W_3=\frac{q^2}{2\pi\epsilon_0 a}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
   5. $\phi_{_{123}}(\vec r)=\phi_{_{12}}(\vec r)+\frac{1}{2\pi\epsilon_0}\frac{q}{\sqrt{x^2+(y-a)^2+z^2}}$
   6. $W_4=-\frac{q^2}{2\pi\epsilon_0 a}\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
   7. $W_\text{total}=-\frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 a}\left(1+2\sqrt{2}\right)$, $U_E^{\text{total}}=W_\text{total}$

Potencial eléctrico de distribuciones continuas de carga

1. 1. $\phi(y)=\frac{Q}{8\pi\epsilon_0L}\ln\left(\frac{\sqrt{y^2+L^2}+L}{\sqrt{y^2+L^2}-L}\right)$
   2. $U_E=\frac{Q^2}{16\pi\epsilon_0L}\ln\left(\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}\right)$
2. 1. $\phi(z)=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0R^2}\left(\sqrt{z^2+R^2}-|z|\right)$
3. 1. $\phi(r\geq R)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r}$
   2. $\phi(r < R)=\frac{1}{16\pi\epsilon_0}\frac{Q}{R}\left(5-\frac{r^4}{R^4}\right)$
4. $\Delta\phi=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)$
5. 1. $\phi(r\geq b)=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r}$ $\phi(a < r < b )=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{b}$ $\phi(r\leq a)=-\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{3}{r}-\frac{3}{a}+\frac{1}{b}\right)$
   2. $V=0\,\mbf V$
6. 1. $\phi(r)=-\frac{1}{8\pi\epsilon_0}\frac{Qr^2}{R^3}$
   2. $\Delta\phi=-\frac{1}{8\pi\epsilon_0}\frac{Q}{R}$. Mayor potencial en el centro.
   3. Porque se han elegido distintos lugares donde el potencial eléctrico es nulo. En el primer caso la integración se realiza en la región interior de la esfera. En el segundo caso la integración se realiza en la totalidad de la región exterior y en parte de la región interior.

Campo eléctrico a partir del potencial

1. 1. $\phi(x_1)=10{,}0\,\mbf{V}$, $\phi(x_2)=-11{,}0\,\mbf V$, $\phi(x_3)=-32{,}0\,\mbf{V}$.
   2. $E(x_1)=E(x_2)=E(x_3)=7{,}00\,\mbf{V/m}$ en la dirección $\hat{\imath}$ (positiva del eje $x$).
2. $\vec E=-39{,}2\,\hat\imath\,\mbf{V/m}$
3. 1. $\vec E(x,y,z)=(-5+6xy)\,\hat{\imath}+(3x^2-2z^2)\,\hat{\jmath}-4yz\,\hat k$
   2. $E(P)=5\sqrt 2\,\mbf{\frac{V}{m}}$
4. 1. $\vec E(r < R)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Qr}{R^3}\,\hat r$, $\vec E(R < r < 2R)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}\,\hat r$, $\vec E(r > 2R)=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^2}\,\hat r$
   2. Se trata de una esfera dieléctrica (no conductora) de radio $R$ y carga $Q$ distribuida de manera uniforme, concéntrica con un cascarón esférico de radio $2R$ con densidad superficial uniforme (podría ser conductor).
5. $E_x(a < x < b)=-2{,}5\,\mbf{\frac{V}{m}}$, $E_x(b < x < c)=E_x(d < x < e)=0{,}0\,\mbf{\frac{V}{m}}$, $E_x(c < x < d)=2{,}5\,\mbf{\frac{V}{m}}$, $E_x(e < x < f)=-1{,}0\,\mbf{\frac{V}{m}}$.

   No se puede calcular el campo eléctrico en $a$, $b$, $c$, etc. porque no es posible tomar la derivada de la función potencial en puntos singulares de su dominio.