Guía 08: Ecuación de Bernoulli

A continuación aplicaremos la ecuación de Bernoulli al flujo de fluidos en ductos cerrados. Deberás relacionar las alturas, rapideces y presiones de un fluido (líquido) en movimiento para entregar una primera aproximación de su dinámica.

En todos los sistemas de tuberías se puede aplicar la ecuación de Bernoulli para obtener una primera aproximación a la dinámica del fluido en movimiento. En la imagen, un manómetro, graduado en $\mt{bar}$ y $\mt{psi}$, que permite conocer la presión del fluido que fluye por la tubería, en el punto en que está conectado.
Creditos: Alex Borland bajo licencia CC0 1.0.

Índice

1. Conservación de la energía mecánica en líquidos
2. Constantes, datos y factores de conversión
3. Respuestas

Conservación de la energía mecánica en líquidos

1. Benceno, un hidrocarburo aromático de fórmula molecular $\ce{C6H6}$, se mueve a razón de $3{,}0\,\mt{mm/s}$ por un tubo horizontal de $2{,}0\,\mt{cm}$ de diámetro. En cierta parte, el tubo reduce su diámetro a $0{,}50\,\mt{cm}$.
   1. ¿Cuál es la velocidad del benceno en la parte angosta del tubo?
   2. ¿Cuál es la diferencia de presión del benceno a ambos lados del angostamiento?
2. Por una tubería con un área de sección transversal de $0{,}650\,\mt{in^2}$ circula agua a una velocidad de $17{,}0\,\mt{ft/s}$. El agua desciende gradualmente $32{,}0\,\mt{ft}$ mientras que el área del tubo aumenta a $1{,}20\,\mt{in^2}$. Obtenga
   1. La velocidad del flujo en el nivel inferior.
   2. La presión en el nivel inferior, si la presión en el nivel superior es de $22{,}0\,\mt{psim}$.

   Indicación: Cuando la presión de un fluido se mide en psim o psig, significa que se trata de la presión manométrica (gauge pressure, en inglés) medida en $\mt{psi}$.

3. Se tiene un recipiente abierto de sección cuadrada mucho mayor que $0{,}200\,\mt{in^2}$, lleno de alcohol etílico hasta una altura de $9{,}20\,\mt{ft}$ con una pequeña abertura de sección $0{,}200\,\mt{in^2}$ a $2{,}00\,\mt{ft}$ de altura, tapada por un corcho. Calcule
   1. La presión manométrica sobre el corcho.
   2. La velocidad de salida del líquido, si se extrae el corcho.
4. En una emergencia se hace necesario trasvasar cierta cantidad de gasolina desde un tanque a un bidón. Para esto se llena una manguera con gasolina y se cierra por sus dos extremos. Luego, se introduce un extremo en el tanque a $30\,\mt{cm}$ debajo de la superficie de gasolina, y el otro extremo se introduce en el bidón de modo que queda a $20\,\mt{cm}$ más abajo del primer extremo. Se abren ambos extremos y comienza el trasvase.

   

   Si el área interior de la sección transversal de la manguera mide $4{,}0\,\mt{cm^2}$, obtenga
   1. La velocidad de la gasolina cuando comienza el trasvase.
   2. El caudal inicial que circula por la manguera.

   Indicación: La gasolina es una mezcla de hidrocarburos obtenida del petróleo por destilación fraccionada, que se utiliza principalmente como combustible en motores de combustión interna. En Chile, también se denomina bencina, mientras que en Argentina, Paraguay y Uruguay se conoce como nafta.

5. Por un tubo de Venturi, que tiene un diámetro de $1{,}00\,\mt{in}$ por la parte ancha y $0{,}75\,\mt{in}$ en la parte estrecha, circula agua.

   

   El Venturi tiene conectados dos tubos manométricos que marcan una diferencia de alturas del agua $\Delta H = 30\,\mt{cm}$ ¿Cuánto es el caudal que pasa por el tubo?

   Indicación: Un tubo de Venturi o simplemente, un Venturi, es un dispositivo que permite medir el caudal que pasa por el tubo midiendo la caída de presión. Recibe su nombre del físico italiano Giovanni Battista Venturi quién descubrió el principio de operación de este dispositivo.

6. Los tanques de la figura están conectados por una cañería de diámetro $D=1{,}00\,\mt{ft}$ y largo $L=2{,}40\,\mt{m}$ por donde circula agua a $20{,}0^{\circ}\mt{C}$, desde el tanque de la izquierda al de la derecha. El tanque de la izquierda está cerrado y tiene un compresor que mantiene la presión manométrica del aire en su interior constante de valor $p_\text{aire}=14\,510\,\mt{Pa}$. El tanque de la derecha está abierto al ambiente. Si el diámetro del tanque de la izquierda es $1{,}50\,\mt m$ y el diámetro del tanque de la derecha $1{,}00\,\mt{m}$

   

   Determine
   1. La velocidad inicial con que desciende el agua en el tanque de la izquierda.
   2. El caudal inicial que pasa por la cañería que conecta los estanques.
   3. La velocidad del agua en la cañería cuando comienza el vaciado.
7. En la figura, un deposito de agua con aire presurizado $p_{_{A}}=15{,}72\,\mt{psim}$ en la parte superior, se desaloja por una tubería cuya área transversal mayor es $A_{_{B}}=2{,}80\,\mt{in^2}$ y su área menor es $A_{_{C}}=1{,}40\,\mt{in^2}$.

   

   Suponiendo que el área del depósito es mucho mayor que el área de la tubería, obtenga
   1. La velocidad de salida en el punto $C$.
   2. La velocidad en el punto $B$.
   3. La altura $h$.

   Indicación: En general se utiliza $\mt{psia}$, para especificar que se trata de la presión absoluta medida en $\mt{psi}$, y $\mt{psim}$ o $\mt{psig}$ para la presión manométrica (gauge pressure).

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Constantes, datos y factores de conversión

• Aceleración de gravedad estándar
  $g=9{,}81\,\mt{m/s^2}= 32{,}2\,\mt{ft/s^2}$.
• Densidad del agua
  $\rho_{_{\ce{H2O}}}^{4{,}0^{\circ}\mt C}=1{,}00\times 10^3\,\mt{kg/m^3}=62{,}4\,\mt{lb_m/ft^3}$.
• Densidad del benceno $\ce{C6H6}$
  $\rho_{_{\ce{C6H6}}}=874\,\mt{kg/m^3}=54{,}5\,\mt{lb_m/ft^3}$.
• Densidad del alcohol etílico $\ce{C2H5-OH}$
  $\rho_{_\text{etanol}}=0{,}789\,\mt{g/cm^3}=49{,}2\,\mt{lb_m/ft^3}$.
• $1\,\mt{ft}\equiv 30{,}48\,\mt{cm}\equiv 12\,\mt{in}$.
• $1\,\mt{lb_m}= 453{,}6\,\mt g$.
• $1\,\mt{lb_f}\equiv 1\,\mt{lb_m}\times g=4{,}448\,\mt N $.
• $1\,\mt{slug}\equiv 1\,\mt{\frac{lb_f}{ft/s^2}}= 32{,}2\,\mt{lb_m}$.
• $1\,\mt{bar}\equiv 10^5\,\mt{Pa}=2\,088{,}5\,\mt{lb/ft^2}=14{,}504\,\mt{psi}$.
• $1\,\mt{psi}\equiv 144\,\mt{lb/ft^2}$.
• $1\,\mt{m^3}\equiv 1\,000\,\mt{l}\equiv 1{,}0\times10^6\,\mt{cm^3}$.

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Respuestas

1. 1. $v=4{,}8\,\mt{cm/s}$.
   2. $\Delta p=-1{,}0\,\mt{Pa}$.
2. 1. $v_\text{out}=9{,}21\,\mt{ft/s}$.
   2. $p_\text{out}^\text{man}=5\,363\, \mt{\frac{lb}{ft^2}}=5{,}36\times 10^3\, \mt{\frac{lb}{ft^2}}=37{,}2\, \mt{psim}$.
3. 1. $p_\text{corcho}^\text{man}=354\,\mt{lb/ft^2}=2{,}46\,\mt{psim}$.
   2. $v_\text{out}=21{,}5\,\mt{ft/s}$.
4. 1. $v_\text{gasolina}=3{,}1\,\mt{m/s}$.
   2. $\dot V=1{,}2\times 10^{-3}\,\mt{m^3/s}=1{,}2\,\mt{l/s}$.
5. $\dot V=8{,}4\times 10^{-4}\,\mt{m^3/s}=0{,}030\,\mt{ft^3/s}=51\,\mt{in^3/s}$.
6. 1. $v_\text{iz}=0{,}628\,\mt{m/s}$.
   2. $\dot V=1{,}11\,\mt{m^3/s}$.
   3. $v_\text{cañería}=15{,}2\,\mt{m/s}$.
7. 1. $v_{_C}=53{,}1\,\mt{ft/s}$.
   2. $v_{_B}=26{,}5\,\mt{ft/s}$.
   3. $h=32{,}9\,\mt{ft}$.