Guía 11: Ecuación de Bernoulli con pérdidas

A continuación utilizarás la ecuación de Bernoulli generalizada para considerar, además de bombas y turbinas, las pérdidas de energía debido a la fricción del flujo con la tubería y a los accesorios como válvulas y codos, entre otros. Deberás relacionar las alturas, rapideces, presiones de un fluido (líquido) en movimiento con las pérdidas en un sistema de tuberías

Los sistemas de tuberías están presente en un amplio rango de industrias que requieren sistemas de transporte o circulación de fluidos. Algunos ejemplos son las industrias (petro)química, minera, de climatización, del agua potable, etc. La imagen muestra una sección del Oleoducto Trans-Alaska que se extiende por casi $1\,300\,\mt{km}$ atravesando Alaska de Norte a Sur. El sistema cuenta con 11 estaciones de bombeo y miles de tuberías alimentadoras a lo largo de toda su extensión.
Creditos: Luca Galuzzi - www.galuzzi.it bajo licencia CC BY-SA 2.5.

Índice

1. Conceptos básicos
2. Pérdidas regulares
3. Pérdidas singulares
4. Constantes, datos y factores de conversión
5. Respuestas

Conceptos básicos

1. Aceite de densidad relativa $0{,}86$ y viscosidad $\mu=0{,}025\,\mt{Pa\cdot s}$ fluye en el interior de un tubo de diamétro $450\,\mt{mm}$. Obtenga
   1. El número de Reynolds de este flujo si se mueve a $15\,\mt{cm/s}$ ¿Es el flujo laminar, de transición o turbulento?
   2. El número de Reynolds de este flujo si el caudal es $4{,}8\,\mt{l/s}$ ¿Es el flujo laminar, de transición o turbulento?
   3. La velocidad a la que se mueve el fluido si su número de Reynolds es $2{,}5\times10^5$ (turbulento).
2. Un flujo permanente incompresible de agua a $68^\circ\mt{F}$ circula por una tubería de sección transversal constante.

   

   Calcule
   1. La pérdida de presión entre $A$ y $B$.
   2. La pérdida de altura entre $A$ y $B$.

Perdidas regulares

1. Por una tubería horizontal de cobre de $100\, \mt{m}$ de longitud y $100\, \mt{mm}$ de diámetro, circula un caudal de $12\,\mt{l/s}$ de glicerina a $30^{\circ}\mt C$. Determine
   1. El número de Reynolds de este flujo.
   2. La pérdida de altura.
   3. La pérdida de presión.
   4. La pérdida de potencia.
2. Un tubo liso de $2{,}40\,\mt{in}$ de diámetro y $500\,\mt{ft}$ de largo transporta $160\,\mt{gal/min}$ de agua a $68^{\circ}\mt F$ con $p=230\,\mt{psi}$ desde la llave hasta la parte superior de un edificio a $82{,}0\,\mt{ft}$ arriba de la llave.
   1. Las pérdidas en el tubo.
   2. La presión con que llega el agua a la parte de arriba del edificio.
3. Se va a bombear agua a $20^{\circ}\mt{C}$ en $1{,}00\, \mt{km}$ de tubo de hierro forjado de $200\, \mt{mm}$ de diámetro con velocidad de $60{,}0\, \mt{l/s}$. Calcule
   1. El factor de fricción.
   2. La pérdida de carga.
   3. La potencia requerida.
4. En la figura de la derecha se muestra un tanque en altura abierto al aire que se vacía a través de un tubo de diámetro $0{,}25\,\mt{in}$, hacia otro tanque mayor.

   

   Si el peso específico del líquido es $\gamma=55\,\mt{lb/ft^3}$ y su viscosidad $\mu=0{,}10\,\mt{P}$ (poise). Obtenga
   1. El caudal en el tubo.
   2. El tipo de flujo que circula por el tubo.
5. Un tubo capilar con diámetro interno de $6{,}0\,\mt{mm}$ conecta el tanque cerrado $A$ con el tanque abierto $B$, como se muestra en la figura.

   

   El líquido en todo el sistema es agua a $20^{\circ}\mt{C}$. Si la presión manométrica en el tanque $A$ es $p_{_A} = 34{,}5\,\mt{kPa}$, determine.
   1. El caudal que circula por el capilar.
   2. El tipo de flujo que circula por el capilar.
   3. La dirección en que fluye el agua.

Perdidas singulares

1. Un sistema hidráulico requiere entregar una presión mínima de $3{,}50\, \mt{bar}$ para funcionar correctamente. El sistema funciona con agua a $20^{\circ}\mt{C}$ que proviene de una tubería de acero carbono de rugosidad $\epsilon=0{,}0460\, \mt{mm}$, diámetro $100\, \mt{mm}$ y largo total $150\, \mt{m}$. Además, cuenta con los siguientes accesorios: cinco codos de $90^{\circ}$, cuatro codos $45^{\circ}$, una válvula de globo y una válvula de bola. Si la velocidad del agua es $2{,}50\, \mt{m/s}$. Obtenga
   1. El número de Reynolds y el tipo de flujo en la tubería.
   2. Las pérdidas regulares en la tubería.
   3. Las pérdidas singulares en los accesorios.
   4. La presión mínima del agua en el inicio de la tubería para que el sistema funcione correctamente.
2. En una instalación de trasvase de keroseno se quiere instalar una bomba para que circule un caudal de $630\, \mt{gal/min}$ a $20^{\circ}\mt{C}$, desde el depósito de almacenamiento al depósito de consumo, La instalación está formada por una tubería de fundición (rugosidad de $1{,}00\times 10^{-2}\,\mt{in}$) de $1\,000\, \mt{ft}$ de longitud y con un diámetro de $6{,}00\, \mt{in}$. El sistema cuenta con una válvula de retención (DN 75), una válvula de compuerta y 2 codos comerciales de radio medio.

   

   El tanque de consumo está presurizado a $35{,}5\,\mt{psim}$, como indica el manómetro. Calcule
   1. Las pérdidas singulares del sistema. No olvide tomar en cuenta la salida y la entrada de depósito.
   2. El factor de fricción de la tubería.
   3. Las pérdidas regulares en el sistema.
   4. La potencia que se necesita inyectar al keroseno.
   5. La potencia que consume la bomba a instalar, suponiendo un rendimiento del $75\%$.

   Indicación: El Keroseno es un combustible líquido conocido en Chile como parafina.

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Constantes, datos y factores de conversión

• Aceleración de gravedad estándar
  $g=9{,}81\,\mt{m/s^2}= 32{,}2\,\mt{ft/s^2}$.
• Pérdidas regulares \begin{equation*} p_f=f\frac{L}{D}\,\frac{\rho v^2}{2}=f\frac{L}{D^5}\,\frac{8\rho{\dot V}^2}{\pi^2}. \end{equation*}
• Factor de fricción de Darcy
  • Flujo laminar \begin{equation*} f_\text{lam}=\frac{64}{\mt{Re}}. \end{equation*}
  • Flujo turbulento \begin{equation*} f_\text{turb}=\frac{0{,}25}{\left[\log\left(\frac{\epsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\right)\right]^{2}}. \end{equation*}
• Coeficientes de pérdida $K$ de algunos accesorios
  • Codo de $90^{\circ}$: $K=0{,}51$.
  • Codo de $45^{\circ}$: $K=0{,}27$.
  • Codo comercial de radio medio: $K = 0{,}75$.
  • Válvula de globo: $K=5{,}8$.
  • Válvula de bola: $K=0{,}050$.
  • Válvula de retención (DN 75): $K = 1{,}5$.
  • Válvula de compuerta abierta: $K = 0{,}19$.
  • Salida depósito ángulos vivos: $K = 0{,}50$.
  • Entrada a depósito: $K = 1{,}0$.
• Agua a $20^\circ\mt C=68^\circ\mt F$}
  • Densidad
    $\rho_{_{\ce{H2O}}}=998\,\mt{kg/m^3}=62{,}3\,\mt{lb_m/ft^3}$.
  • Viscosidad
    $\mu_{_{\ce{H2O}}}= 1{,}00 \times 10^{-3}\, \mt{Pa\cdot s}=2{,}09\times10^{-5}\, \mt{\frac{lb\cdot s}{ft^2}}$.
• Glicerina a $30^\circ\mt C=86^\circ\mt F$
  • Densidad
    $\rho_{_\text{gli}}=1{,}25\times 10^{3}\, \mt{kg/m^3}=78{,}7\,\mt{lb_m/ft^3}$.
  • Viscosidad
    $\mu_{_\text{gli}}=0{,}583\, \mt{Pa\cdot s}=1{,}22\times 10^{-2}\, \mt{\frac{lb\cdot s}{ft^2}}$.
• Keroseno a $20^\circ\mt C=68^\circ\mt F$
  • Densidad
    $\rho_{_\text{ker}}=820\,\mt{kg/m^3}=51{,}2\,\mt{lb_m/ft^3}$.
  • Viscosidad cinemática
    $\nu_{_\text{ker}}=2{,}2\times 10^{-6}\, \mt{\frac{m^2}{s}}=2{,}4\times 10^{-5}\, \mt{\frac{ft^2}{s}}$.
• $1\,\mt{ft}\equiv 30{,}48\,\mt{cm}\equiv 12\,\mt{in}$.
• $1\,\mt{lb_m}= 453{,}6\,\mt g$.
• $1\,\mt{lb_f}\equiv 1\,\mt{lb_m}\times g=4{,}448\,\mt N $.
• $1\,\mt{slug}\equiv 1\,\mt{\frac{lb_f}{ft/s^2}}= 32{,}2\,\mt{lb_m}$.
• $1\,\mt{bar}\equiv 10^5\,\mt{Pa}=2\,088{,}5\,\mt{lb/ft^2}=14{,}504\,\mt{psi}$.
• $1\,\mt{psi}\equiv 144\,\mt{lb/ft^2}$.
• $1\,\mt{m^3}\equiv 1\,000\,\mt{l}\equiv 1{,}0\times10^6\,\mt{cm^3}$.
• $1\,\mt{gal}\,(\text{US})\equiv 231\,\mt{in^3}=3{,}785\,\mt l$.
• $1\,\mt{ft\cdot \frac{lb}{s}} = 1{,}356\,\mt{W}$.
• $1\,\mt{hp}\,(\text{mecánico})\equiv550\,\mt{ft\cdot \frac{lb}{s}}=745{,}7\,\mt{W}$
• $1\,\mt{Pa\cdot s}\equiv 10\,\mt{P}=0{,}020\,9\,\mt{\frac{lb\cdot s}{ft^2}}$.
• Diagrama de Moody



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Respuestas

1. 1. $\mt{Re}=2\,322=2{,}3\times 10^3$, flujo de transición.
   2. $\mt{Re}=467{,}2=4{,}7\times 10^2$, flujo laminar.
   3. $v=16{,}15\,\mt{\frac{m}{s}}=16\,\mt{\frac{m}{s}}$.
2. $p_\text{perd}=3\,850\,\mt{\frac{lb}{ft^2}}=3{,}8\times 10^3\,\mt{\frac{lb}{ft^2}}=27\,\mt{psi}$.
1. 1. $\mt{Re}=327{,}592=3{,}3\times 10^2$, flujo laminar.
   2. $h_f=23{,}245\,\mt{m}=23\,\mt m$.
   3. $p_f=285\,043\,\mt{Pa}=0{,}29\,\mt{MPa}$.
   4. $\dot W_f=3\,421\,\mt W=3{,}4\,\mt{kW}$.
2. 1. $p_f=4\,796\,\mt{\frac{lb}{ft^2}}=4{,}80\times 10^3\,\mt{\frac{lb}{ft^2}}= 33{,}3\,\mt{psi}$, o $h_f=77{,}0\,\mt{ft}$.
   2. $p_\text{out}=23\,215\,\mt{\frac{lb}{ft^2}}=23{,}2\times 10^3\,\mt{\frac{lb}{ft^2}}= 161\,\mt{psi}$.
3. 1. $f_\text{turb}=1{,}615\,93\times 10^{-2}=0{,}0162$.
   2. $p_f=147\,431\,\mt{Pa}=147\,\mt{kPa}$, o $h_f=15{,}058\,\mt m=15{,}1\,\mt m$.
   3. $\dot W_\text{turb}=8\,846\,\mt{W}=8{,}85\,\mt{kW}$.
4. 1. $\dot V=1{,}521\times 10^{-3}\,\mt{\frac{ft^3}{s}}=1{,}5\times 10^{-3}\,\mt{\frac{ft^3}{s}}$=0{,}68\,\mt{\frac{gal}{min}}$.
   2. $\mt{Re}=759{,}2$ , flujo laminar.
5. 1. Desde $A$ hacia $B$.
   2. $\dot V=6{,}033\times 10^{-6}\,\mt{\frac{m^3}{s}}=6{,}0\,\mt{\frac{cm^3}{s}}$.
   3. $\mt{Re}=1\,278$ , flujo laminar.
1. 1. $\mt{Re}=249\,500=2{,}50\times 10^5$, flujo turbulento.
   2. $p_f=86\,078\,\mt{Pa}=86{,}1\,\mt{kPa}$, o $h_f=8{,}79\,\mt{m}$.
   3. $p_m=29\,566\,\mt{Pa}=29{,}6\,\mt{kPa}$, o $h_m=3{,}02\,\mt{m}$
   4. $p_\text{in}=465\,644\,\mt{Pa}=466\,\mt{kPa}$.
2. 1. $p_m=190,551\,\mt{\frac{lb}{ft^2}}=191\,\mt{\frac{lb}{ft^2}}=1{,}32\,\mt{psi}$ , o $h_m=3{,}72\,\mt{ft}$.
   2. $f_\text{turb}=0{,}023\,835=2{,}38\times 10^{-2}$.
   3. $p_f=1\,938\,\mt{\frac{lb}{ft^2}}=1{,}94\times 10^3\,\mt{\frac{lb}{ft^2}}=13{,}5\,\mt{psi}$, o $h_f=37{,}8\,\mt{ft}$.
   4. $\dot W_\text{bomba}=13\,760\,\mt{\frac{ft\cdot lb}{s}}=1{,}38\times 10^4\,\mt{\frac{ft\cdot lb}{s}}=25{,}0\,\mt{hp}$.
   5. $\dot W_\text{cons}=18\,347\,\mt{\frac{ft\cdot lb}{s}}=1{,}83\times 10^4\,\mt{\frac{ft\cdot lb}{s}}=33{,}4\,\mt{hp}$.