Mecánica: Definiciones de Cinemática

Índice

1. Definiciones y Conceptos
2. Movimiento Rectilíneo Uniforme
3. Respuestas

Definiciones y Conceptos

1. Un náufrago se encuentra a la deriva en un bote salvavida. Desde el lugar del naufragio las corrientes marinas lo desplazan durante el primer día $1{,}7\ \mbf{km}$ en la dirección $20^\circ$ al sur del este, durante el segundo día $3{,}0\ \mbf{km}$ hacia el oeste y durante el tercer día $4{,}7\ \mbf{km}$ en dirección $75^\circ$ al norte del este, lugar donde fue rescatado.
   1. Encuentre la posición final del naúfrago respecto del lugar del naufragio.
   2. Obtenga la distancia recorrida por el naúfrago.
   3. Calcule la rapidez media durante los tres días que estuvo a la deriva.
   4. Obtenga la velocidad media durante los dos primeros días.

   Indicación: Considere un sistema coordenado en que el eje $x$ apunte hacia el este y el eje $y$ hacia el norte.

2. Indiana Jones está atrapado en un laberinto. En su desesperación por encontrar una salida, corre $60\ \mbf m$ en línea recta. Luego gira en $60^\circ$ a la derecha y en esta dirección corre $30\ \mbf m$. Finalmente, dobla otra vez a la derecha en $15^\circ$ recorriendo $70\ \mbf m$ hasta que encuentra la salida.
   1. Con respecto a la posición inicial ¿Dónde queda la salida?
   2. Si la rapidez con que corre el Dr. Jones es $6{,}0\ \mbf{m/s}$ ¿Cuánto tarda en alcanzar la salida?
   3. Suponiendo la rapidez dada con anterioridad ¿Cuál es la velocidad media durante el escape del Dr. Jones?

   Indicación: Defina un sistema de referencia apropiado.

3. La posición de una partícula medida en metros es dada por: $$\vec r (t) = 15t\,\hat\imath+ \left(25- 5{,}0\,t^2\right)\hat\jmath$$ con $t$ el tiempo medido en segundos. Indique qué significado tiene cada uno de los coeficientes de la ecuación.

   Indicación: Obtenga la velocidad y la aceleración.

4. Un auto se mueve en línea recta sobre el eje $x$, como indica la siguiente ecuación de itinerario, la cual está expresada en unidades SI. $$\begin{equation*} x(t) = 4{,}0\, t^2-5{,}0\, t + 8{,}0\,. \end{equation*}$$ Determine
   1. El desplazamiento del auto, entre $t = 0{,}0\ \mbf s$ y $t = 3{,}0\ \mbf s$.
   2. El tiempo que tarda el auto en llegar a $x = 65\ \mbf m$.
   3. La velocidad media del móvil, entre $t = 3{,}0\ \mbf s$ y $t = 6{,}0\ \mbf s$.
   4. La velocidad instantánea del auto, en $t = 4{,}5\ \mbf s$.
   5. La aceleración media, entre $t = 4{,}0\ \mbf s$ y $t = 8{,}0\ \mbf s$.
5. Un carro de montañna rusa parte del reposo desde la altura máxima de su trayectoria bajando durante $10\ \mbf s$ hasta alcanzar una posición horizontal. En este punto la rapidez del carro es de $100\ \mbf{km/h}$. Luego vuelve a subir durante $7{,}0\ \mbf s$ hasta alcanzar nuevamente una posición horizontal en donde su rapidez es de $60\ \mbf{km/h}$.
   1. Calcule la aceleración media del carro durante el trayecto de bajada.
   2. Obtenga la aceleración media del carro durante el trayecto de subida.
   3. ¿Cuál es la aceleración media durante todo el trayecto.
6. Un estudiante tiene una pelota atada al extremo de una cuerda de $1{,}00\ \mbf m$ de largo y la hace girar en una circunferencia vertical en sentido antihorario. La velocidad de la pelota en el punto más alto (punto $P$) de la circunferencia es $-3{,}00\,\hat\imath\ \mbf{m/s}$ y en el punto más bajo (punto $Q$) de la circunferencia es $4{,}00\,\hat\imath\ \mbf{m/s}$. Si el intervalo de tiempo que se demora la pelota para ir desde el punto $P$ al punto $Q$ es de $2{,}00\ \mbf s$. Calcule la aceleración media que experimenta la pelota durante este intervalo de tiempo.

   Indicación: Use el siguiente sistema de referencia

   

Movimiento Rectilíneo Uniforme

1. Un auto de Fórmula 1, recorre la recta de un circuito, con velocidad constante. En el tiempo $t_1 = 0{,}50\ \mbf s$ y en el tiempo $t_2 = 1{,}5\ \mbf s$, sus posiciones en la recta son $x_1 = 3{,}5\ \mbf m$ y $x_2 = 43{,}5\ \mbf m$. Calcular
   1. ¿A qué velocidad se desplaza el auto?
   2. ¿Dónde se encuentra a los $3{,}0\ \mbf s$?
2. Escriba la ecuación de la trayectoria de un caminante que, estando a $30\ \mbf m$ a la derecha del origen de un sistema coordenado se mueve hacia la izquierda con velocidad $1{,}5\ \mbf{m/s}$ ¿Qué tiempo necesita para pasar por un punto situado 12 metros a la izquierda del origen?
3. Imagine que está situado sobre un puente de una autopista recta. En un instante dado, pasa por debajo de usted un camión a $80\ \mbf{km/h}$. Después de $15\ \mbf{s}$ pasa un automóvil en el mismo sentido, pero a $120\ \mbf{km/h}$.
   1. ¿En qué instante adelanta el automóvil al camión?
   2. ¿En qué posición se produce el adelantamiento?
4. Dos vehículos salen a la misma hora de dos puntos que distan entre sí $40\ \mbf{km}$ en línea recta. El vehículo $A$ se mueve con rapidez constante de $90\ \mbf{km/h}$ y el vehículo $B$ con rapidez constante de $60\ \mbf{km/h}$.
   Obtenga el instante y la posición, respecto al punto de partida del vehículo $A$, en que se produce el encuentro entre los vehículos (suponga que los vehículos se mueven en una misma recta):
   1. Si los vehículos van en el mismo sentido.
   2. Si los vehículos van en sentidos contrarios.
5. Una partícula se mueve sobre el eje $x$. Sabiendo que su velocidad es $2{,}0\ \mbf{m/s}$ hacia el lado negativo del eje $x$, y su posición en $t=0{,}0\ \mbf{s}$ es $x_0 = -4{,}0\ \mbf m$, trace las gráficas $x(t)$ y $v(t)$.
6. Obtenga la ecuación itinerario $x(t)$ de la partícula que describe el gráfico a continuación.

   

   ¿En qué tiempo la partícula pasa por la posición $x=0{,}0\ \mbf m$?
7. Una partícula se mueve con velocidad $v=3{,}0\ \mbf{m/s}$ hacia la dirección positiva del eje $x$. En el tiempo $t=0{,}0\ \mbf s$ se encuentra en la posición $x=5{,}0\ \mbf m$. Tras $10$ segundos, la partícula se detiene y permanece en reposo por cinco segundos. Después la partícula comienza a moverse con velocidad $v=-7{,}0\ \mbf{m/s}$ durante quince segundos. Grafique:
   1. La velocidad como función del tiempo.
   2. La ecuación itinerario $x(t)$.
8. Considere el siguiente gráfico de velocidad.

   

   Determine
   1. La velocidad como función del tiempo, con los datos de la gráfica.
   2. La ecuación itinerario, suponiendo que el movimiento solo ocurre en el eje $x$ y sabiendo que en $t_0=0{,}0\ \mbf s$ la posición es $x_0=-5{,}0\ \mbf m$.
   3. El desplazamiento total y la velocidad media (entre $t_i=0{,}0\ \mbf s$ y $t_f=10{,}0\ \mbf s$).
   4. La distancia recorrida total y la rapidez media (entre $t_i=0{,}0\ \mbf s$ y $t_f=10{,}0\ \mbf s$).

   Sugerencia: Para calcular la distancia total, calcule lo que avanzó la partícula, luego calcule lo que retrocedió la partícula y sume estas distancias.

   Indicación: No olvide utilizar cifras significativas.

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Respuestas

Definiciones y Conceptos

1. 1. $\vec r_f=\Bigl(-0{,}2\hat \imath+3{,}9\hat \jmath\Bigr)\ \mbf{km}$, o $3{,}9\ \mbf{km}$ en dirección $87^\circ$ al Norte del Oeste, o bien $3{,}9\ \mbf{km}$ en dirección $3{,}0^\circ$ al Oeste del Norte.
   2. $d=9{,}4\ \mbf{km}$.
   3. $v_m=3{,}1\ \mbf{km/dias}=0{,}13\ \mbf{km/h}$.
   4. $\vec v_m=\Bigl(-0{,}70\hat\imath-0{,}30\hat \jmath\Bigr)\ \mbf{km/dias}$, o $\vec v_m=\Bigl(-0{,}029\hat \imath-0{,}013\hat \jmath\Bigr)\ \mbf{km/h}$, o bien $0{,}76\ \mbf{km/dias}=0{,}032\ \mbf{km/h}$ en la dirección $23^\circ$ al Sur del Oeste.
2. 1. $132\ \mbf{m}$ en $45^\circ$ a la derecha de su dirección inicial.
   2. $t=27\ \mbf s$.
   3. $\vec v_m=4{,}9\ \mbf{m/s}$ en $45^\circ$ a la derecha de su dirección inicial..
3. • Posición inicial
     $\vec r(t=0)=25\, \hat\jmath\ \mbf{m}$.
   • Velocidad inicial
     $\vec v(t=0)=15\, \hat\imath\ \mbf{m/s}$.
   • Aceleración constante
     $\vec a(t)=2\times(- 5{,}0\,\hat\jmath) =-10\, \hat\jmath\ \mbf{m/s^2}$.
4. 1. $\Delta x=21\ \mbf m$.
   2. $t=4{,}5\ \mbf s$.
   3. $v_m =31\ \mbf{m/s}$.
   4. $v(t=4{,}5\ \mbf s)=31\ \mbf{m/s}$.
   5. $a_m=8{,}0\ \mbf{m/s^2}$.
5. 1. $\vec a_m=2{,}8\,\hat\imath\ \mbf{m/s^2}$.
   2. $\vec a_m=-1{,}6\,\hat \imath\ \mbf{m/s^2}$.
   3. $\vec a_m=0{,}98\,\hat \imath\ \mbf{m/s^2}$.
6. $\vec a_m=3{,}50\,\hat \imath\ \mbf{m/s^2}$.

Movimiento Rectilíneo Uniforme

1. 1. $\vec v=40\,\hat\imath\ \mbf{m/s}$.
   2. $\vec r(t=3\ \mbf s)=103\,\hat\imath\ \mbf m$.
2. 1. $x(t)=30-1{,}5\,t$.
   2. $t=28\ \mbf s$.
3. 1. $45\ \mbf s$ después que pasó el camión bajo el puente.
   2. $990\ \mbf m$ más adelante del puente.
4. 1. $1{,}3$ horas después y $120\ \mbf{km}$ adelante de donde comenzó $A$.
   2. $0{,}27$ horas después y $24\ \mbf{km}$ adelante de donde comenzó $A$.

5. 

   

6. 1. $x(t)=(-2{,}0+0{,}62\,t)\,\mbf m$.
   2. $t=3{,}2\ \mbf s$.
7. 1. $$v(t)=\left\{ \begin{array}{ll} 3{,}0\ \mbf{m/s}&,\ t\in [0,10)\\ 0{,}0\ \mbf{m/s}&,\ t\in (10,15)\\ -7{,}0\ \mbf{m/s}&,\ t\in (15,30) \end{array}\right.$$
   2. $$x(t)=\left\{ \begin{array}{l} 5{,}0+3{,}0\,t\ \mbf m & ,\ \text{si } t\in [0,10)\\ 35\ \mbf m &,\ \text{si } t\in [10,15)\\ 35-7{,}0(t-15)\ \mbf m&, \text{si } t\in [15,30] \end{array}\right.$$
8. 1. $$v(t)=\left\{ \begin{array}{ll} 6{,}0\ \mbf{m/s} &\text{, si } 0{,}0\leq t < 3{,}0\\ 0{,}0\ \mbf{m/s} &\text{, si } 3{,}0< t < 5{,}0\\ -10{,}0\ \mbf{m/s} &\text{, si } 5{,}0< t \leq 10{,}0 \end{array}\right.$$ No es posible definir la velocidad en los tiempos $3{,}0\ \mbf s$ y $5{,}0\ \mbf s$.
   2. $$x(t)=\left\{ \begin{array}{l} (-5{,}0+6{,}0\,t)\ \mbf m&,\ \text{si } 0{,}0\leq t < 3{,}0 \\ 13\ \mbf m &,\ \text{si } 3{,}0\leq t < 5{,}0\\ \Bigl(13-10(t-5{,}0)\Bigr)\ \mbf m&,\ \text{si }5{,}0\leq t \leq 10{,}0 \end{array}\right.$$
   3. $\Delta x=-32\ \mbf m$.
   4. $v_m=-3{,}2\ \mbf{m/s}$.