Guía 09: Campo magnético

Es el turno de investigar las fuentes del campo magnético. En esta guía deberás encontrar el campo magnético que generan distintas configuraciones de corrientes eléctricas.

Las cargas eléctricas en movimiento generan magnetismo. El mundo moderno está lleno de aplicaciones de este fenómeno como es el caso de los electroimanes, imanes que se pueden manejar a voluntad según la corriente eléctrica que circula por su embobinado. En la imagen se observa un electroiman casero formado por un embobinado en forma de solenoide (el cable enrrollado), un núcleo de hierro (el clavo) utilizado para amplificar el campo magnético, y una fuente de voltaje (la bateria) que establece la corriente en el embobinado.
Creditos: Gina Clifford bajo licencia CC BY-SA 2.0.

Índice

1. Campo Magnético
2. Ley de Biot-Savart
3. Ley de Ampère
4. Respuestas

Campo Magnético

1. A partir de los siguientes campos magnéticos, determine dónde se ubican y en qué dirección avanzan las corrientes eléctricas

   1. 

   2. 

   3. 

      Indicación: El símbolo $\odot$ representa un vector saliendo de la hoja y el símbolo $\otimes$ un vector entrando en la hoja.

   4. 

   5. 

   6. 

Ley de Biot-Savart

1. Considere una corriente $i$ que circula por un condutor recto de largo $L$, como muestra la figura.

   

   Determine
   1. El campo magnético que produce la corriente en el punto $A$, a una distancia $a$ del conductor.
   2. El campo magnético en el punto $B$, a una distancia $b$ del punto medio del conductor.
2. Los alambres de la figura tienen un largo $L$ y están separados una distancia $d$, si cada alambre lleva una corriente $i$. Obtenga

   

   1. El campo magnético en el punto $A$ situado entre los alambres.
   2. La corriente que debe circular por cada alambre de largo $L=1{,}00\,\mbf{m}$ para que el campo magnético en $A$ mida $B=296\,\mathbf{\mu T}$ si la distancia de separación es $d=8{,}10\,\mathbf{cm}$.
3. Un aro de radio $R$, centrado en el eje $z$, se encuentra ubicado sobre el plano $xy$.

   

   Si por el aro circula una corriente $i$, como muestra la figura. Obtenga
   1. El campo magnético en cualquier punto del eje $z$.

   Indicación: Utilice coordenadas cilíndricas (polares en el plano $xy$).

4. La figura muestra una espira formada por dos semicircunferencias concéntricas en $O$, de radios $a$ y $b$, unidas por dos segmentos. Suponga que por la espira circula una corriente $i$.

   

   Sin realizar cálculos matemáticos, deduzca
   1. La magnitud del campo magnético producido por el segmento $\overline{AB}$ en el punto $O$.
   2. La dirección del campo magnético en $O$ debido a la semicircunferencia $AD$.
   3. La dirección del campo magnético en $O$ debido a la semicircunferencia $BC$.
   4. La dirección del campo magnético en $O$ debido a la espira completa.
   5. Confirme su resultado calculando el campo magnético en $O$ debido a toda la espira.

Ley de Ampère

1. A partir de los siguientes campos magnéticos, determine dónde se ubican y en qué dirección avanzan las corrientes eléctricas.

   1. 

   2. 

2. Obtenga el campo magnético a una distancia $r$ de un alambre recto infinito que lleva una corriente $i$.
3. Considere un alambre cilíndrico largo de radio $R$ que conduce una corriente $i$ distribuida uniformemente en su sección transversal. Obtenga
   1. La densidad de corriente en el cilindro.
   2. El campo magnético en la región exterior del cilindro $(r > R)$ y en la región interior del cilindro $(r < R)$.
   3. Las dos distancias ($r_1$ y $r_2$) del eje del cilindro, en las cuales el campo magnético es igual a la mitad de su valor en la superficie del cilindro.
4. La figura muestra la sección transversal de un conductor cilíndrico muy largo, hueco de radios $a$ y $b$, que conduce una corriente $i$ uniformemente distribuida.

   

   1. Obtenga el campo magnético en la zona hueca del conductor $r < b$, donde $r$ es la distancia medida desde el eje de simetría.
   2. Calcule el campo magnético en la zona exterior ($r>a$).
   3. Determine la densidad de corriente eléctrica en el conductor.
   4. Verifique que el campo magnético para el intervalo $b < r < a$ está dado por $$\begin{equation*} B(r)=\frac{\mu_{_{0}}i}{2\pi(a^2-b^2)}\frac{r^2-b^2}{r} \end{equation*}$$
5. Un cable coaxial consiste de un conductor cilíndrico rodeado por un segundo conductor cilíndrico hueco como muestra la figura.

   

   El conductor interior tiene radio $c$ y lleva una corriente $i$ que sale del plano, mientras que el conductor externo de radio exterior $a$ y radio interior $b$ lleva la misma corriente pero en sentido opuesto, es decir, entra en el plano.

   Si $r$ es la distancia medida a partir del eje de simetría y las corrientes están uniformemente distribuidas, determine el campo magnético en todo el espacio.

6. El solenoide de la figura tiene densidad de espiras $n$ y la corriente que circula por el conductor es $i$.

   

   Calcule
   1. El campo magnético en el interior del solenoide asumiendo que es uniforme.
   2. La magnitud del campo magnético, si el solenoide mide $95{,}6\,\mathbf{cm}$ de largo, tiene un radio de $1{,}90\,\mathbf{cm}$, un devanado de $1\,230$ vueltas y conduce una corriente de $3{,}58\,\mathbf{A}$.

   Sugerencia: Utilice el anillo amperiano de la figura.

7. Un toroide puede ser entendido como un solenoide doblado formando una rosca de modo que el comienzo del solenoide se conecta con su final.

   

   Obtenga
   1. El campo magnético en el interior de un toroide, a una distancia $r$ de su centro (punto $O$). Considere que el toroide tiene radio interior $a$, radio exterior $b$, $N$ vueltas y que circula una corriente $i$.
   2. El campo magnético en el radio interior del toroide, si tiene sección transversal cuadrada de $5{,}20\,\mathbf{cm}$ de lado, radio interior de $16{,}2\,\mathbf{cm}$, $535$ vueltas y conduce una corriente de $813\,\mathbf{mA}$.
   3. El campo magnético en el radio exterior del toroide descrito en la pregunta anterior.

Respuestas

Campo Magnético

1. 1. A la derecha y abajo, una corriente saliendo de la hoja.
   2. A la izquierda y abajo, una corriente entrando en la hoja.
   3. En el centro una corriente avanza hacia la derecha.
   4. A la izquierda y abajo, una corriente saliendo de la hoja. A la derecha y arriba, otra corriente saliendo de la hoja.
   5. A la izquierda, una corriente saliendo de la hoja. A la derecha, otra corriente entrando en la hoja. Podría tratarse de una espira de corriente.
   6. Tres corrientes saliendo de la hoja: una arriba, otra en el centro y una tercera abajo.

Ley de Biot-Savart

1. 1. $B(A)=\frac{\mu_0 i}{4\pi a}\,\frac{L}{\sqrt{a^2+L^2}}$. Saliendo de la hoja.
   2. $B(B)=\frac{\mu_0 i}{4\pi b}\,\frac{L}{\sqrt{b^2+\left(\frac{L}{2}\right)^2}}$. Entrando en la hoja.
2. 1. Entrando en la hoja $B(A)=2\,\frac{\mu_0 i}{\pi d}\,\frac{L}{\sqrt{d^2+L^2}}$
   2. $i=30{,}1\,\mbf{A}$
3. 1. $\vec B(z)=\frac{\mu_0i}{2}\frac{R^2}{\left(z^2+R^2\right)^{3/2}}\,\hat k$
4. 1. $B=0$, porque $d\vec l$ y $(\vec r-\vec r_i)$ son paralelos.
   2. Saliendo de la hoja.
   3. Entrando en la hoja.
   4. Entrando en la hoja porque los segmentos $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ no aportan y la semicircunferencia $BC$ está más cerca de $O$ que la semicircunferencia $AD$.
   5. Usando un sistema de referencia con eje $x$ hacia la derecha, eje $y$ hacia arriba y eje $z$ saliendo de la hoja $\vec B(O)=-\frac{\mu_0 i}{4}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\,\hat k$

Ley de Ampère

1. 1. Dos corrientes eléctricas salen de la hoja, arriba a la izquierda y a la derecha. Dos corrientes entran en la hoja, abajo a la izquierda y a la derecha. Podría tratarse de dos espiras perpendiculares al plano de la hoja, una a la izquierda y otra a la derecha.
   2. Tres corrientes eléctricas salen de la hoja, arriba a la izquierda, al centro y a la derecha. Tres corrientes entran en la hoja, abajo a la izquierda, al centro y a la derecha. Podría tratarse de tres espiras perpendiculares al plano de la hoja, una a la izquierda, otra al centro y otra a la derecha.
2. $\vec B=\frac{\mu_0 i}{2\pi r}\,\hat\theta$. Suponiendo que la corriente sale de la hoja.
3. Suponiendo que la corriente sale de la hoja en la dirección $\hat k$.
   1. $\vec\jmath=\frac{i}{\pi R^2}\,\hat k$.
   2. $\vec B(r > R)=\frac{\mu_0 i}{2\pi r}\,\hat\theta$, $\vec B(r < R)=\frac{\mu_0 i}{2\pi }\frac{r}{R^2}\,\hat\theta$
   3. $r_1=R/2$ y $r_2=2R$.
4. Suponiendo que la corriente sale de la hoja en la dirección $\hat k$.
   1. $\vec B(r < b)=0$
   2. $\vec B(r > a)=\frac{\mu_0 i}{2\pi r}\,\hat\theta$
   3. $\vec\jmath=\frac{i}{\pi \left(a^2-b^2\right)}\,\hat k$
5. $\vec B(r < c)=\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{ir}{c^2}\,\hat\theta$, $\vec B(c < r < b)=\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{i}{r}\,\hat\theta$, $\vec B(b < r < a)=\frac{\mu_0}{2\pi}i\left(1-\frac{r^2-b^2}{a^2-b^2}\right)\,\hat\theta$ y $\vec B(r > a)=0$.
6. 1. $B=\mu_0 i n$, hacia la derecha.
   2. $B=5{,}79\,\mbf{mT}$
7. Con el eje $z$ saliendo de la hoja.
   1. $\vec B=\frac{\mu_0 Ni}{2\pi r}\, \hat\theta$
   2. $\vec B=537\, \hat\theta\,\mbf{\mu T}$
   3. $\vec B=407\, \hat\theta\,\mbf{\mu T}$